A scuola abbiamo imparato a risolvere equazioni, delle quali le più frequenti sono quelle che chiamiamo equazioni algebriche, come 3x -1=0 o x 2 -2x -8=0. Una delle caratteristiche principali di queste equazioni è che ogni termine che contiene un'incognita contiene solo potenze intere di questa. Inoltre, queste equazioni hanno altre due caratteristiche importanti: il numero di termini è limitato e i coefficienti delle incognite sono interi. Ora, dobbiamo rispondere a questa domanda: tutti i numeri reali sono radici di equazioni algebriche a coefficienti interi? Per comodità, chiamiamo semplicemente equazioni algebriche le equazioni algebriche a coefficienti interi. Innanzitutto, è ovvio che tutti i numeri razionali q =m /n sono radici dell'equazione algebrica nx m =0, dove m e n sono numeri interi (n ≠ 0). Inoltre, chi ha studiato l'equazione di secondo grado sa che le radici delle equazioni algebriche non sono necessariamente razionali. Ad esempio, le due radici di x 2 -2=0 sono irrazionali. Pertanto, le radici delle equazioni algebriche a coefficienti interi possono essere razionali o irrazionali, e quindi, almeno in teoria, sono in grado di rappresentare tutti i numeri reali.
Tuttavia, avere questa possibilità non significa che sia possibile farlo, è necessaria una dimostrazione. Il primo a rispondere negativamente alla domanda "Tutti i numeri reali sono radici delle equazioni algebriche a coefficienti interi?" e a fornire una dimostrazione fu il matematico francese Liouville, che non solo dimostrò che alcuni numeri reali non sono radici di nessuna equazione algebrica a coefficienti interi, ma costruì anche tali numeri reali, fornendo così la risposta negativa in modo molto eloquente. I primi numeri reali non radice delle equazioni algebriche a coefficienti interi che Liouville costruì erano espressi in serie di numeri consecutivi, e in seguito costruì tali numeri reali anche usando decimali decimali. Per onorare il contributo di Liouville, i numeri che Liouville costruì sono chiamati numeri di Liouville.
Ora sappiamo che molti numeri reali importanti, come la base del logaritmo naturale e, sono radici delle equazioni algebriche a coefficienti interi. Per comodità, i matematici chiamano numeri algebrici quelli che possono essere rappresentati dalle radici delle equazioni algebriche a coefficienti interi, e numeri trascendenti quelli che non possono essere rappresentati dalle radici delle equazioni algebriche a coefficienti interi. I numeri reali includono sia i numeri algebrici che i numeri trascendenti. I numeri e sono esempi di numeri algebrici, mentre e e π sono esempi di numeri trascendenti. La nostra domanda, utilizzando questa nuova terminologia, può essere riformulata così: tutti i numeri reali sono numeri algebrici? La risposta, come indicato sopra, è negativa.
Tuttavia, anche se la risposta è stata rivelata, dimostrare che un numero specifico è trascendente è spesso una cosa difficile. Ad esempio, per dimostrare che due delle costanti più importanti, e e π, sono trascendenti, i matematici hanno dovuto fare molta fatica. La trascendenza di e fu dimostrata dal matematico francese Hermite nel 1873. Determinare se π è trascendente fu ancora più difficile, e fu dimostrato dal matematico tedesco Lindemann nel 1882 che anche π è trascendente. E se combinazioni semplici come e+π ed e-π sono trascendenti, questo rimane ancora un mistero fino ad oggi.
Passiamo ora a una domanda successiva: i numeri algebrici sono più numerosi dei numeri trascendenti? Considerando quanto sia difficile costruire e dimostrare la trascendenza dei numeri trascendenti, molti lettori potrebbero supporre che solo pochi numeri siano trascendenti. In realtà, è esattamente il contrario. Nel 1874, il matematico tedesco Cantor dimostrò che i numeri trascendenti sono molto più numerosi degli algebrici (qui si tratta di confrontare il numero di elementi di insiemi infiniti). Infatti, dimostrò che i numeri reali sono quasi tutti trascendenti, o in altre parole, se selezioniamo a caso un numero reale, la probabilità che sia un numero algebrico è 0!
L'esistenza dei numeri trascendenti non ha solo un significato di classificazione astratto, ma può anche risolvere alcuni problemi matematici concreti. Ad esempio, è stato dimostrato che la lunghezza dei segmenti che possono essere costruiti con la geometria di Euclide può essere solo un numero algebrico (dato un'unità di lunghezza). Pertanto, π è un numero trascendente, un risultato che, apparentemente, ha solo un significato di classificazione astratto.Una delle "Tre difficoltà della costruzione con righello e compasso", che hanno afflitto i matematici per oltre 2300 anni, ovvero "trasformare un cerchio in un quadrato", è impossibile da realizzare.