Tutte le equazioni algebriche di primo grado hanno una formula di soluzione? Equazioni come 2x -6=0 , x 2 -3x +2=0 , x 3 -5x -12=0 , ecc. sono chiamate equazioni algebriche di primo grado. A seconda del grado del termine più alto, vengono chiamate rispettivamente equazioni algebriche di primo grado, di secondo grado, di terzo grado, ecc. Per le equazioni algebriche di primo grado, la soluzione è estremamente semplice. Invece, per le equazioni algebriche di secondo grado, molte civiltà antiche hanno ottenuto risultati corretti attraverso l'esplorazione. Infatti, per l'equazione algebrica generale di secondo grado a x 2 +b x +c =0 , (a ≠0), abbiamo la formula di soluzione: Nella formula, la soluzione dell'equazione è rappresentata mediante le operazioni di addizione, sottrazione e radice dei coefficienti dell'equazione, quindi la soluzione ottenuta da questa formula è chiamata soluzione radicale.
I matematici europei nel XII secolo padroneggiarono il metodo di risoluzione delle equazioni di secondo grado. Successivamente, iniziarono a esplorare la soluzione radicale delle equazioni algebriche di terzo grado. Dopo diversi secoli, molti sforzi sono falliti. Nel 1494, alcuni matematici hanno persino fatto una previsione pessimistica: risolvere un'equazione di terzo grado è impossibile, proprio come trasformare un cerchio in un quadrato. Tuttavia, intorno al 1500, il matematico italiano Ferrari ottenne il primo successo, trovando una formula di soluzione per le equazioni algebriche di terzo grado del tipo x(^3) +mx =n. Tuttavia, non pubblicò i suoi risultati e, prima di morire, trasmise la sua soluzione allo studente Fior e ad altri. Poco dopo, un altro matematico italiano, Tartaglia, affermò di aver trovato un metodo per risolvere le equazioni di terzo grado. Nel 1535, una competizione pubblica si svolse tra Fior e Tartaglia. I due si accordarono di competere a Milano, presentando ciascuno 30 problemi di equazioni di terzo grado, e chi avesse risolto più problemi avrebbe vinto. Inizialmente, Tartaglia padroneggiava solo le equazioni algebriche di terzo grado senza termini di primo grado. Per vincere la competizione, dopo giorni di riflessione, alla vigilia della competizione trovò soluzioni per diversi tipi di equazioni algebriche di terzo grado. Il risultato della competizione fu una vittoria schiacciante per Tartaglia.
Subito dopo la competizione, un altro matematico, Cardano, sentì parlare di questo evento. Successivamente, chiese ripetutamente a Tartaglia la soluzione delle equazioni di terzo grado, e alla fine, dopo aver giurato di non rivelare mai il segreto, Tartaglia rivelò la sua soluzione a Cardano. Successivamente, Cardano, dopo aver studiato, trovò soluzioni e dimostrazioni per tutti i tipi di equazioni di terzo grado. Nel 1545, Cardano pubblicò la sua opera matematica più importante, "Ars Magna", rendendo pubbliche le sue scoperte, insieme a un'importante scoperta del suo studente Ferrari: la soluzione generale delle equazioni algebriche di quarto grado. Il tradimento di Cardano irritò Tartaglia, e una disputa inevitabile si verificò. Il 10 agosto 1548, a Milano, si tenne un dibattito pubblico che portò la disputa al culmine. In questa competizione pubblica e ingiusta con Ferrari, Tartaglia fallì. Fino ad oggi, la formula di soluzione delle equazioni di terzo grado è ancora chiamata formula di Cardano.
Tuttavia, la matematica non si ferma mai. La soluzione di un problema spesso significa la nascita di un nuovo problema. Dopo "Ars Magna", le persone si sono immediatamente impegnate nella successiva competizione, ovvero come trovare la formula delle radici delle equazioni di quinto grado. Nessuno dubitava che, con sufficiente talento, anche le equazioni algebriche di quinto grado potessero essere risolte. Ma un secolo dopo l'altro, nessuno riuscì a farlo.
Alla fine del 1823, arrivò la vera svolta. Il matematico norvegese Abel, allora solo un ragazzo di 21 anni, dimostrò che le equazioni algebriche di quinto grado generali non hanno soluzione radicale. Questa era la ragione per cui, per più di due secoli, le persone avevano cercato invano di trovare questo "Santo Graal". AbelHa copiato diversi esemplari dei risultati della sua ricerca. Per risparmiare sulle spese di stampa, ha condensato il nucleo delle sue idee in sole 6 pagine. Le prove eccessivamente semplicistiche hanno reso il suo saggio difficile da capire e, pertanto, non ha lasciato un'impressione sulla comunità matematica. Abel, tormentato da povertà e malattie per tutta la vita, è morto il 6 aprile 1829 a causa di una malattia, quando aveva meno di 27 anni.
Subito dopo la sua morte, le sue prove hanno iniziato ad essere accettate, ma rimanevano ancora nuovi problemi da risolvere. Quali equazioni possono essere risolte con le radici, quali no, e c'era un metodo di discriminazione appropriato? La morte prematura di Abel non gli ha permesso di risolvere questo problema, che è stato lasciato a Galois, uno dei matematici più leggendari e tragici di tutta la storia della matematica.
A 17 anni, Galois aveva già fatto progressi in questo campo e, negli anni successivi, presentò diversi saggi di ricerca. Tuttavia, i suoi saggi venivano respinti, persi o non compresi, e Galois, che non era stato riconosciuto dalla comunità matematica, divenne sempre più frustrato. Successivamente, una serie di sfortunate vicende personali si susseguirono. Sotto forti pressioni, la sua passione si è rivolta alla politica, per la quale è stato imprigionato due volte. Nel 1832, si è immischiato in un duello insensato. La sera prima del duello, ha lavorato tutta la notte per scrivere una breve descrizione dei suoi risultati. Il 30 maggio 1832, durante il duello, Galois è caduto e il giorno successivo è morto all'età di 21 anni. Più di 10 anni dopo, i suoi saggi sono stati rieditati e pubblicati, e il suo genio è stato riconosciuto.
La bellezza del pensiero di Galois risiede nel fatto che non solo ha dimostrato che le equazioni algebriche monogene di quinto grado (e superiori) non possono essere risolte con le radici, ma ha anche spiegato perché le equazioni monogene di secondo, terzo e quarto grado possono essere risolte. La sua ricerca ha anche fornito un criterio chiaro per determinare se un'equazione algebrica ha una soluzione con le radici, risolvendo così il problema 300enne della risolvibilità delle equazioni algebriche con le radici. L'importanza epocale del lavoro di Galois risiede nel fatto che, nel risolvere questo problema, ha introdotto le idee della teoria dei gruppi, aprendo una nuova era nella ricerca matematica.