Per la maggior parte delle persone, "il tutto è più della somma delle parti" è un fatto incontestabile e ovvio. Anche il matematico greco Euclide lo scrisse come un assioma nel suo trattato "Gli Elementi". Ma se qualcuno vi dicesse che il tutto e le sue parti potrebbero essere ugualmente numerose, vi sorprenderebbe?
Per spiegare questo concetto, consideriamo innanzitutto cosa significhi dire che due cose hanno lo stesso numero. Supponiamo di assistere a uno spettacolo teatrale in cui tutti i posti sono occupati e nessuno sta in piedi. In questo caso, non è necessario contare i posti e il numero delle persone per capire che sono uguali. Questo perché è possibile stabilire una corrispondenza uno a uno tra i posti e le persone. In termini astratti, se è possibile stabilire una corrispondenza uno a uno tra due insiemi, allora il numero degli elementi di entrambi gli insiemi è uguale. Ovviamente, un insieme finito non può stabilire una corrispondenza uno a uno con una delle sue parti. Ma cosa succede con gli insiemi infiniti?
Nel 1638, il fisico italiano Galileo Galilei registrò nel suo libro un fatto sorprendente: ogni numero intero positivo corrisponde al suo quadrato, quindi i quadrati sono altrettanti quanto i numeri interi positivi. Ma i quadrati sono solo una parte dei numeri interi positivi, quindi i numeri interi positivi possono essere uguali a una delle loro parti. La scoperta di Galileo non attirò l'attenzione in quel periodo. Duecento anni dopo, un matematico ceco di nome Georg Cantor rilevò lo stesso fatto, in modo ancora più generale: un insieme infinito può essere messo in corrispondenza uno a uno con un suo sottoinsieme. Ma anche questa volta non suscitò grande attenzione. Fu solo dopo il 1872 che il matematico tedesco Georg Cantor iniziò a studiare approfonditamente gli insiemi infiniti. Cantor era convinto che la capacità di un insieme di essere uguale al suo sottoinsieme fosse una caratteristica essenziale degli insiemi infiniti. Inoltre, scoprì che sugli insiemi infiniti potevano accadere cose ancora più sorprendenti di quanto si potesse immaginare.