I numeri primi sono finiti o infiniti? Questa è una domanda molto fondamentale. In realtà, i numeri primi sono infiniti, ma questo non è ovvio. La prima dimostrazione dell'infinità dei numeri primi appare nell'opera classica di Euclide, Gli Elementi, nella proposizione 20 della nona sezione. Euclide ha utilizzato la dimostrazione per contraddizione. Supponendo che esistessero solo k numeri primi, in ordine crescente da p1 a pk, e considerando P = p1p2...pk + 1, è ovvio che pk > pk, quindi pk deve essere un numero composto. Supponendo che pk fosse un fattore primo di pk, allora pk deve essere uno dei p1, p2, ..., pk, quindi pk deve dividere 1, una contraddizione. Questo dimostra che i numeri primi sono infiniti.
Un'altra dimostrazione dell'infinità dei numeri primi è stata fornita da Eulero. Sempre utilizzando la dimostrazione per contraddizione, si suppone che esistessero solo k numeri primi, in ordine crescente da p1 = 2 a pk, dove k è un intero positivo. Esaminando il prodotto, è ovvio che N è un numero intero finito. Utilizzando la formula di somma delle serie geometriche e il teorema fondamentale dell'aritmetica, ogni numero intero maggiore di 1 può essere scritto come prodotto di alcune potenze di p1, p2, ..., pk, quindi rimuovendo tutte le parentesi dalla prima formula, si ottiene: Tuttavia, Eulero sapeva già che la somma dei reciproci degli interi a destra dell'uguale è infinita, il che è una contraddizione. Quindi, si dimostra che i numeri primi sono infiniti.
Se i numeri primi fossero solo finiti, molti problemi della teoria dei numeri non sarebbero considerati problemi (e persino la congettura di Goldbach non esisterebbe più). Ma in questo caso, il fascino e il valore di ricerca della teoria dei numeri sarebbero notevolmente ridotti. La dimostrazione di Eulero, sebbene leggermente più complessa di quella di Euclide, ha ispirato il matematico tedesco Riemann a studiare la distribuzione dei numeri primi utilizzando la funzione ζ.
Dopo aver dimostrato che i numeri primi sono infiniti, è possibile porre una domanda più profonda: su un asse numerico, quanti numeri primi ci sono fino a un numero grande x? Alla fine del XVIII secolo, Gauss e Legendre ipotizzarono che il numero di numeri primi fino a x fosse circa x/lnx, e che questo valore approssimativo diventasse più preciso man mano che x aumentava. La congettura di Gauss forniva il tasso di aumento del numero di numeri primi fino a x quando x aumentava.
Per dimostrare questa congettura, Riemann ha proposto e sviluppato la teoria della funzione ζ. Il lavoro di Riemann è stato chiaramente ispirato dalla dimostrazione di Euclide dell'infinità dei numeri primi. Seguendo la direzione indicata da Riemann, nel 1896, oltre 100 anni dopo la congettura di Gauss, i matematici francesi Hadamard e belgi Poisson hanno fornito una dimostrazione, e da allora questa congettura è stata denominata Teorema dei Numeri Primi.
Nello sviluppo della teoria della funzione ζ, Riemann ha proposto la famosa Congettura di Riemann, che fino ad oggi non è stata dimostrata. La Congettura di Riemann è strettamente legata alla distribuzione dei numeri primi, e una delle sue forme equivalenti è che il Teorema dei Numeri Primi abbia il miglior termine di errore possibile.