Tra tutte le serie numeriche, la serie di Fibonacci è senza dubbio la più famosa. Nel 1202, Leonardo Fibonacci, matematico nato a Pisa in Italia, completò il suo capolavoro, il "Libro dell'aritmetica", in cui studiò un interessante "problema della riproduzione dei conigli", da cui deriva la serie di Fibonacci.
Il problema della riproduzione dei conigli è in realtà un modello matematico proposto da Fibonacci: supponiamo che una coppia di conigli grandi produca una coppia di conigli piccoli ogni anno, e che tutti i conigli vivano per sempre. Quindi, come si riproducono i conigli?
Nel primo anno, ci sono solo una coppia di conigli piccoli. Nel secondo anno, i conigli piccoli diventano una coppia di conigli grandi, e il numero di coppie di conigli rimane 1. Nel terzo anno, i conigli grandi producono una coppia di conigli piccoli, e il numero di coppie di conigli diventa 2.
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Riepilogando la legge di riproduzione dei conigli, possiamo scoprire che: il numero di coppie di conigli ogni anno = il numero di coppie di conigli dell'anno precedente + il numero di coppie di conigli nuove prodotte quell'anno = il numero di coppie di conigli dell'anno precedente + il numero di coppie di conigli grandi dell'anno precedente.
Cioè, se Fn rappresenta il numero di coppie di conigli dell'anno n, allora F1=F2=1, e per n≥3, Fn=F(^)n-1+F(^)n-2; quindi otteniamo la seguente serie: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ... a partire dal terzo termine, ogni termine è uguale alla somma dei due termini precedenti. Poiché questa serie è stata studiata per la prima volta da Fibonacci, è stata chiamata serie di Fibonacci.
La serie di Fibonacci è una serie molto interessante, utile e famosa, con molte proprietà sorprendenti, e i matematici continuano a studiarla fino ad oggi. Di seguito ne presentiamo brevemente alcune.
Con sei quadrati di lato 1, 1, 2, 3, 5, 8 costruiti con i primi sei termini della serie di Fibonacci, è possibile formare un rettangolo di lato 8 e 13. In generale, n quadrati di lato Fn e F(^)n+1 possono formare un rettangolo il cui lato maggiore è Fn e il lato minore è F(^)n+1. Infatti, è possibile dimostrare con l'induzione matematica la seguente proprietà:
La serie di Fibonacci ha anche una formula generale: in cui φ è la famosa sezione aurea.
Non è sorprendente che una serie composta interamente da numeri naturali abbia la sua formula generale rappresentata da un numero irrazionale φ. Già nella metà del XVIII secolo, i famosi matematici De Moivre e Euler conoscevano questa formula. Nel XIX secolo, il matematico francese Jacques Philippe Marie Binet la riscoprì.
Inoltre, possiamo osservare che, quando n aumenta, il rapporto tra due termini consecutivi della serie di Fibonacci, F(^)n+1/Fn, tende sempre più verso la sezione aurea φ.
Oltre a molte proprietà matematiche interessanti, gli scienziati hanno anche notato che alcune quantità nella vegetazione seguono la serie di Fibonacci, come il numero di ramificazioni degli alberi, il numero dei petali dei fiori, la distribuzione dei granuli di frutta, l'allineamento delle spirali sulla corteccia dei frutti, ecc. Nel bellissimo girasole, ci sono due spirali a sinistra e a destra del disco, e se ci sono 13 spirali a destra, ce ne sono 21 a sinistra, per un totale di 34. Anche le squame delle pigne sono disposte a spirale, con 5 colonne a destra o a sinistra, e 8 colonne nell'altra direzione, mentre le pigne più allungate hanno 8 o 13 colonne. Inoltre, molti fiori hanno un numero di petali pari a 3, 5, 8, 13, 21, ecc. Se sei interessato, puoi contare i petali di alcuni fiori.
Le foglie delle piante sono disposte a spirale sul tronco. Nel 1611, l'astronomo tedesco Keplero scoprì che, se si collocano i rami o i tronchi attorno a un punto centrale, i rami più grandi sono sempre disposti in modo che la somma degli angoli che formano con i rami più piccoli sia sempre un multiplo intero di 360°.Le due foglie più vicine nella stessa direzione sono considerate rispettivamente l'inizio e la fine di un ciclo, all'interno del quale potrebbero esserci molte foglie, che possono fare diversi giri attorno al ramo o allo stelo. Se si considera il numero totale delle foglie in un ciclo come m, e il numero dei giri delle foglie in un ciclo come n, allora sia m che n sono numeri correlati alla successione di Fibonacci. Ad esempio, per l'ulivo n=1 e m=2; per la faggio n=1 e m=3; per la ciliegia e la quercia n=2 e m=5 (cioè, ogni ciclo ha 5 foglie e termina dopo 2 giri); per il pero n=3 e m=8; per il salice n=5 e m=13. Questi numeri sono tutti della successione di Fibonacci, ed è davvero incredibile!
Esistono molte altre storie sulla successione di Fibonacci, in particolare sul suo stretto legame con la sezione aurea.