Il matematico tedesco Cantor, fondatore della teoria degli insiemi, può essere considerato una figura rivoluzionaria. All'inizio della sua carriera incontrò notevoli ostacoli e persino opposizioni aperte. Tuttavia, molti matematici appoggiarono la sua teoria, tra cui il grande matematico del XX secolo Hilbert. Si dice che Hilbert, per illustrare le proprietà dell'infinito, raccontasse la seguente storia durante una lezione.
Immaginiamo un albergo con un numero finito di stanze, tutte occupate. Arriva un nuovo ospite che chiede una stanza. Il gestore dell'albergo dice: "Mi dispiace, tutte le stanze sono occupate". Immaginiamo ora un albergo con un numero infinito di stanze, anch'esse tutte occupate. Arriva un nuovo ospite che chiede una stanza. "Ma... ehm, non c'è problema!" dice il gestore dell'albergo dopo un attimo di riflessione. Quindi sposta l'ospite della stanza 1 nella stanza 2, quello della stanza 2 nella stanza 3, quello della stanza 3 nella stanza 4, e così via, facendo in modo che il nuovo ospite possa occupare la stanza 1 liberata.
Sempre questo albergo, con tutte le stanze occupate. Arrivano allora infiniti nuovi ospiti che chiedono una stanza. Forte dell'esperienza precedente, il gestore dell'albergo risponde prontamente: "Va bene, signori, aspettate un attimo". Quindi sposta l'ospite della stanza 1 nella stanza 2, quello della stanza 2 nella stanza 4, quello della stanza 3 nella stanza 6, e così via. In questo modo, tutti gli ospiti precedenti si trasferiscono nelle stanze con numeri pari, mentre i nuovi ospiti possono occupare direttamente le stanze con numeri dispari liberate. Così, tutti i nuovi ospiti si sistemano soddisfatti.
Questa è la storia che volevo raccontare. In seguito, questo albergo fu chiamato "Albergo di Hilbert". Hilbert raccontò questa storia per far capire meglio il concetto di "insieme infinito". Il gestore dell'albergo riusciva ogni volta a sistemare i nuovi ospiti in caso di piena occupazione, perché ogni volta stabiliva una corrispondenza biunivoca tra un insieme infinito e un altro insieme infinito.