Dopo l'introduzione dell'unità immaginaria i = , i matematici hanno iniziato a usare sempre più i numeri complessi per risolvere problemi matematici. Tuttavia, inizialmente i matematici non riconoscevano i numeri complessi come reali, considerandoli qualcosa di immaginario e irrealistico. Il grande matematico Eulero ha dato un importante contributo allo studio dei numeri complessi. Ha introdotto il nome "immaginario" e il simbolo i per l'unità immaginaria, oltre a formulare la famosa formula di Eulero e iθ^ = cosθ + isinθ. Tuttavia, anche Eulero non riconosceva la realtà dei numeri complessi. Ha dichiarato: "Tutti i numeri della forma e sono impossibili, poiché rappresentano la radice quadrata di un numero negativo. Per quanto riguarda questi numeri, possiamo solo affermare che non sono nulla, né sono più di nulla, né sono meno di nulla. Sono puramente immaginari". Questa situazione è durata per quasi 200 anni, fino all'era di Gauss nel XIX secolo, quando si è conclusa.
Sappiamo che i numeri reali possono essere rappresentati da un punto sull'asse delle coordinate. Quindi, come rappresentare il numero immaginario i? A quel tempo, diversi matematici europei, come Wessel, Argand e Gauss, notarono che un numero moltiplicato per -1 equivale al suo opposto, e sul piano delle coordinate, questo significa girare di 180° attorno all'origine. Se si moltiplica nuovamente per -1, si torna alla posizione originale. Ora i^2 = -1, il che indica che moltiplicare i per due volte equivale a girare di 180° attorno all'origine. Di conseguenza, moltiplicare i una volta dovrebbe significare girare di 90° (in senso antiorario). Da ciò si può immaginare che tutti i numeri puramente immaginari dovrebbero trovarsi su una linea perpendicolare all'asse delle coordinate reali, che passa per l'origine: questo è l'asse immaginario. L'asse delle coordinate reali originale viene chiamato asse reale, e insieme, asse reale e asse immaginario formano un sistema di coordinate rettangoli nel piano, mentre a + bi rappresenta un punto (a,b) su questo piano rettangolo. Il piano in cui sono rappresentati i numeri complessi viene chiamato piano complesso.
Questo metodo conferisce ai numeri complessi e alle loro operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione un chiaro significato geometrico. Da allora, i numeri complessi hanno un modello reale, e le persone hanno iniziato a considerarli come qualcosa di reale. I numeri complessi, inizialmente immaginari e irrealistici, sono diventati qualcosa di concreto. Il modello di Gauss e altri non solo ha conferito ai numeri complessi una realtà, eliminando i dubbi delle persone, ma ha anche collegato i numeri complessi alla geometria del piano e alle operazioni vettoriali, consentendo l'applicazione dei numeri complessi a molti problemi matematici e fisici sul piano. Nel XIX secolo, su questa base, si è sviluppata una disciplina chiamata teoria delle funzioni complesse, che è un'estensione del calcolo differenziale alle funzioni di variabili complesse. Le funzioni complesse trovano importanti applicazioni in idrodinamica ed elasticità, ad esempio nella progettazione delle ali, dove vengono utilizzate le mappe conformi delle funzioni complesse. Ancora più sorprendente è che le funzioni complesse vengono utilizzate per studiare la distribuzione dei numeri primi e si sono sviluppate in un importante ramo della matematica moderna: la teoria analitica dei numeri. Nella matematica contemporanea, sia la matematica pura che quella applicata non possono fare a meno dei numeri complessi. Le persone del passato non avrebbero mai immaginato che questi numeri "puramente immaginari" potessero essere così potenti oggi.