Come tutti sanno, i numeri che hanno la forma a + b i sono chiamati numeri complessi, dove a e b sono numeri reali, mentre i rappresenta un numero che differisce molto dai numeri reali che conosciamo e sembra che non incontriamo mai tali numeri nel nostro mondo reale. Perché dobbiamo introdurre tali numeri? I libri di matematica delle scuole medie ci hanno già detto che, quando risolviamo un'equazione quadrata ax 2 + bx + c = 0, se ∆ = b 2 - 4ac < 0, l'equazione ha una coppia di radici congiugate. È vero che l'introduzione dei numeri complessi permette di avere radici quando ∆ < 0, ma in questo caso potrebbe essere più realistico che l'equazione non abbia radici nel campo dei numeri reali, e sembra inutile introdurre artificialmente radici invisibili e inaccessibili.
Storicamente, i numeri complessi furono introdotti nel XVI secolo dal matematico italiano Cardano. Il suo scopo principale nell'introdurre i numeri complessi era quello di risolvere le equazioni algebriche di terzo grado. Per questo, prendiamo un esempio. Consideriamo l'equazione cubica x 3 - 7x + 6 = 0. È facile verificare che questa equazione ha tre radici reali: x = 1, x = 2 e x = -3. Poiché un'equazione cubica ha al massimo tre radici diverse, queste tre radici sono tutte le radici dell'equazione. Cardano, a quel tempo, conosceva già la formula per trovare le radici dell'equazione cubica x 3 + px + q = 0, dove ora, applicando la suddetta formula alle equazione x(^3) - 7x + 6 = 0, con p = -7 e q = 6, nel caso sopra, è necessario gestire numeri come questo per ottenere infine tre radici reali. Cardano notò che, quando ∆ < 0, per trovare le radici dell'equazione cubica (anche se sono radici reali), non si può evitare di calcolare i quadrati dei numeri negativi, e quindi è necessario gestire i nuovi numeri prodotti dall'apertura dei quadrati dei numeri negativi, come quelli sopra menzionati. Cardano introdusse quindi una nuova classe di numeri nella matematica, che oggi chiamiamo numeri complessi. Allora, questi numeri erano scritti in forma unificata, dove a e b erano numeri reali. Successivamente, Eulero suggerì di usare i per sostituire i, e così nacque la rappresentazione odierna dei numeri complessi: a + b i.
Dopo l'introduzione dei numeri complessi nella matematica, non solo questi non sono mai scomparsi, ma la loro utilità è cresciuta continuamente. I numeri complessi sono utilizzati non solo per risolvere equazioni di terzo o quarto grado, ma anche per il calcolo delle funzioni trigonometriche. Un esempio è la famosa formula di De Moivre. Prendendo n = 2 e n = 3, si possono ottenere le formule per i doppi e tripli angoli delle funzioni trigonometriche, e da queste si possono anche ottenere le formule per n volte l'angolo. Molti problemi nel campo dei numeri reali possono essere risolti in modo semplice o ingegnoso attraverso il campo dei numeri complessi. A questo proposito, il matematico francese Adama ha fatto un'osservazione molto appropriata: il percorso più breve tra due verità nel campo dei numeri reali passa attraverso il campo dei numeri complessi.