Nei film, spesso vediamo un tipo di gioco d'azzardo nei casinò in cui si scommette sui numeri pari o dispari. Se si perde, si perde l'importo scommesso, ma se si vince, si vince un importo equivalente a quello scommesso. Si dice che per questo tipo di gioco d'azzardo esista una strategia "vincente senza perdere", nota come metodo "raddoppiare la scommessa".
La strategia specifica del metodo raddoppia la scommessa: la prima volta, si scommette un importo minimo di a yuan. Se si perde, si raddoppia la scommessa a 2a yuan. Se si perde di nuovo, si raddoppia nuovamente a 4a yuan. In questo modo, ogni volta che si perde, si raddoppia la scommessa fino a vincere. Poi, si ricomincia a scommettere con l'importo minimo e si ripete il processo. Supponiamo di aver perso n scommesse consecutive prima di vincere. In totale, si perde a+2a+…+2^(n-1)a=(2^n -1)a yuan, mentre la scommessa successiva vince 2^n a yuan. Pertanto, alla fine del giro si vince sempre a yuan! Sembrerebbe che, se si continua a giocare, si possa sempre vincere senza perdere, il che sembra essere una strategia infallibile per vincere.
Ma è davvero così? In realtà, molte persone che conoscono questa strategia del "raddoppiare la scommessa" vanno a provare la loro fortuna nei casinò. Tuttavia, il risultato è generalmente quello di perdere tutto fino all'esaurimento del proprio capitale. In altre parole, questa strategia infallibile per vincere non funziona. Perché? Perché anche se il giocatore riesce a vincere ogni volta, può vincere solo l'importo minimo di a yuan, e vincere n scommesse consecutive significa solo na yuan. L'importo vinto cresce con una progressione aritmetica, quindi l'aumento è lento. Tuttavia, una volta che si perde di fila, l'importo perso cresce in modo esponenziale, con un aumento incredibilmente rapido. Se il capitale del giocatore è limitato, è possibile che perda tutto prima ancora di avere la possibilità di vincere. Ad esempio, un giocatore con un capitale di 10.000 yuan e una scommessa minima di 10 yuan, se perde 10 scommesse consecutive, perderà 10.000×(2^10 -1)=10.230 yuan. Pertanto, anche se ha vinto un po' (che non sarà molto, poiché l'aumento è lento), alla fine perderà tutto.
Forse il lettore penserà che, nonostante sia possibile perdere di fila, la probabilità di perdere 10 scommesse consecutive è molto bassa. La probabilità di perdere una scommessa è 1/2, quella di perdere 2 scommesse consecutive è (1/2)^2=0,25, quella di perdere 10 scommesse consecutive è solo (1/2)^10≈0,001, una probabilità così bassa da non verificarsi quasi mai. Se il giocatore scommette solo 10 volte, la probabilità di perdere tutto è effettivamente di circa 0,001. Tuttavia, se il giocatore crede che "raddoppiare la scommessa" sia infallibile, continuerà a giocare, e la probabilità di perdere 10 scommesse consecutive non sarà così bassa come si pensa. Secondo i calcoli, se si scommette circa 1.500 volte, la probabilità di perdere 10 scommesse consecutive supera il 50%, il che significa che perderà il suo capitale di 10.000 yuan con una probabilità superiore al 50%. Inoltre, più si scommette, maggiore è la probabilità di perdere 10 scommesse consecutive, e se si scommette 5.000 volte, la probabilità di perdere 10 scommesse consecutive supererà il 90%.
In generale, finché il giocatore continua a giocare, la probabilità di perdere 10, 15 o 20 scommesse consecutive aumenta con il numero di scommesse. Pertanto, indipendentemente dal capitale del giocatore, se è limitato, alla fine perderà tutto.