Nel XVII secolo, durante lo studio dell'opera "Arithmetica" del matematico greco antico Diofanto, il matematico francese Fermat si imbatté in un problema riguardante i numeri pitagorici: "Data una potenza quadrata, come scriverla come somma di due altre potenze quadrate?" Così scrisse a margine del libro: "... in generale, nessun numero intero potenziato a un esponente superiore a 2 può essere scritto come somma di due numeri interi potenziati allo stesso esponente. Ho trovato una dimostrazione davvero sorprendente, ma lo spazio a disposizione è troppo piccolo per scriverla". In termini matematici moderni, Fermat affermava che x^n + y^n = z^n (n > 2) (1) non ha soluzioni con interi positivi. Questo è il famoso "Teorema di Fermat", noto anche come "L'ultimo teorema di Fermat".
Oggi si ritiene che Fermat non sia riuscito a dimostrare il suo "grande teorema", poiché era davvero troppo difficile. Il matematico del XVIII secolo Eulero fornì una dimostrazione solo per n=3. Il matematico del XIX secolo Gauss lo studiò, ma non riuscì a ottenere un risultato. Quando nel XX secolo al grande matematico Hilbert fu chiesto di risolvere il Teorema di Fermat, egli rispose che non voleva "uccidere l'oca che gli porterà le uova d'oro". Con "oca che gli porterà le uova d'oro", Hilbert si riferiva ai meravigliosi concetti e teorie matematiche sviluppate per dimostrare il Teorema di Fermat. Innanzitutto, estendendo il concetto di "intero", i matematici scoprirono che le radici n-esime dell'unità ω (cioè ω^n = 1) potevano essere considerate "interi", e quindi (1) poteva essere scomposta in z^n = x^n + y^n = (x + y)(x + yω)(x + yω^2)... (x + yω^(n-1)), permettendo un'analisi più approfondita. Sappiamo che tutti gli interi maggiori di 1 possono essere unicamente scomposti in prodotti di numeri primi, come 6 = 2 × 3, 20 = 2^2 × 5, ecc. Se i "numeri interi" estesi mantenessero questa unicità della scomposizione, il Teorema di Fermat sarebbe già stato risolto. Purtroppo, però, non è così. Ad esempio, il 6 nei "numeri interi" estesi ha due scomposizioni: 6 = 2 × 3 e 6. Così, nel XIX secolo, il matematico tedesco Kummer inventò un nuovo concetto, i "numeri ideali". Su questa base, dimostrò il Teorema di Fermat per n ≤ 100 (tranne alcuni casi particolari), dando così origine a un importante ramo della matematica moderna: la teoria dei numeri algebrici.
Nel 1994, dopo 8 anni di ricerche isolate, il matematico britannico Wiles dimostrò finalmente il Teorema di Fermat, risolvendo un problema che aveva afflitto i matematici per oltre 350 anni. La chiave della dimostrazione di Wiles risiedeva nell'applicazione delle "rappresentazioni dei gruppi Galois" per stabilire una corrispondenza tra le "curve ellittiche" e le "forme modulari", rivelando così i profondi legami tra i diversi campi della matematica moderna. Questa fu l'ultima "uova d'oro" generata dal Teorema di Fermat.