Nei libri di testo delle scuole medie, oltre al logaritmo comune lg x, esiste anche il logaritmo naturale ln x, che rappresenta il logaritmo con base e, dove e = 2,718281828… Perché il logaritmo con base e viene chiamato logaritmo naturale? Nei libri di testo moderni, la funzione logaritmica viene definita come l'inversa della funzione esponenziale, ma non è sempre stato così nella storia. Il logaritmo fu introdotto per la prima volta nel 1614 dal matematico scozzese John Napier. Il logaritmo inventato da Napier consentì di trasformare l'operazione di moltiplicazione di due numeri in un'operazione di addizione, semplificando notevolmente i calcoli complessi che si verificavano allora in campi scientifici come l'astronomia e la navigazione. Una funzione che soddisfa le seguenti proprietà viene chiamata funzione logaritmica: y = f (x) (x > 0); f (x1x2) = f (x1) + f (x2); f (1) = 0.
Nel corso della ricerca della funzione logaritmica, fu scoperto il seguente fatto: data una costante positiva c, e considerando l'iperbole y = c/x nel primo quadrante. Si consideri s un numero positivo e l'area della parte ombreggiata come Lc (s). Conveniamo che quando s = 1, questa area è 0; quando s > 1, è positiva; mentre quando s < 1, è negativa. Con questa convenzione, la funzione Lc (s) è una funzione logaritmica.
Ora, la funzione logaritmica corrispondente a c = 1 viene indicata come y = L (s). A quel tempo, L (s) veniva chiamata logaritmo naturale, poiché era la funzione logaritmica più semplice Lc (s). Per facilitare i calcoli, poteva anche essere usata per rappresentare altre funzioni logaritmiche. In realtà, già nel secondo anno dopo l'introduzione del logaritmo da parte di Napier, qualcuno aveva usato questo concetto per compilare tabelle logaritmiche, che furono allegate al libro di Napier. Tuttavia, all'epoca, non si conosceva il numero e, né esisteva il concetto di "base della funzione logaritmica".
Nel XVIII secolo, Eulero collegò la funzione logaritmica alla funzione esponenziale, considerando la funzione logaritmica come l'inversa della funzione esponenziale, e in questo modo nacque il concetto di base della funzione logaritmica. Eulero scoprì anche che il numero chiamato base del logaritmo naturale era esattamente il numero e.