La base dell'esponenziale naturale, e = 2,718281828..., è una costante importante in matematica. Perché è stata introdotta questa costante? Quali sono le sue principali applicazioni? Vediamolo nel dettaglio.
Iniziamo con un problema di interesse composto ideale: immaginiamo una banca con un tasso di interesse annuo del 1%. Se un cliente deposita 1 yuan all'inizio dell'anno, l'importo totale alla fine dell'anno sarà di 1 + 1 = 2 yuan. Se la banca applica lo stesso tasso di interesse ai depositi più brevi, calcolando l'interesse annuo in base alla percentuale della durata del deposito nell'anno, ad esempio ½ per un deposito di sei mesi, ¼ per un deposito di tre mesi e ⅓ per un deposito di un mese, il cliente potrebbe ottenere una strategia di deposito migliore. Se deposita 1 yuan per sei mesi e rinnova immediatamente il deposito con gli interessi alla fine di questo periodo, l'importo totale alla fine dell'anno sarà di . Se deposita per tre mesi e rinnova immediatamente il deposito con gli interessi alla fine di questo periodo, l'importo totale alla fine dell'anno sarà di . Se deposita per un mese, l'importo totale alla fine dell'anno dovrebbe essere di . Da questo si può vedere che, quanto più breve è la durata del deposito, tanto maggiore sarà l'importo totale alla fine dell'anno calcolato con l'interesse composto. Supponiamo che la banca consenta qualsiasi durata del deposito, anche di un giorno, un'ora o un minuto, o anche più breve. Quanto potrebbe essere grande l'importo totale alla fine dell'anno dopo un anno di deposito? I risparmiatori potrebbero diventare molto ricchi?
Nel 1697, il matematico svizzero Jakob Bernoulli considerò questo problema. Calcolando l'interesse composto su un anno diviso in n parti, l'importo totale alla fine dell'anno sarà di . Bernoulli dimostrò che quando n tende all'infinito, questo importo totale alla fine dell'anno aumenta sempre di più, ma non all'infinito, e si avvicina sempre di più a un valore fisso compreso tra 2 e 3. Oggi sappiamo che questo valore è uguale a 2,718281828..., e in termini di limiti matematici, quando n tende all'infinito, esiste un limite della serie. Questo ci dice che, indipendentemente da quanto il cliente riduca la durata del deposito, l'importo totale alla fine dell'anno non supererà il valore limite della serie 2,718281828..., e se l'interesse viene calcolato continuamente, l'importo totale alla fine dell'anno sarà questo valore limite.
In seguito, il matematico svizzero Euler, studiando le funzioni esponenziali e logaritmiche, incontrò nuovamente questo limite e lo indicò come e. Dimostrò inoltre che e è un numero irrazionale. Ancora più importante, Euler dimostrò che per qualsiasi numero reale x, quando n tende all'infinito, il limite della serie è e^x, ovvero la funzione esponenziale con base e. Questo è semplicemente un'estensione dell'esempio precedente del calcolo dell'interesse composto: il capitale iniziale è ancora 1, ma il tasso di interesse è cambiato in x. In queste condizioni, se l'interesse viene calcolato continuamente, l'importo totale alla fine dell'anno sarà e^x. Tuttavia, qui il "tasso di interesse" x può essere positivo o negativo, ed è un numero reale diverso da zero.
La banca sopra descritta è ovviamente un modello matematico fittizio, ma molti fenomeni naturali reali si adattano a questo modello. Ogni volta che una quantità aumenta (o diminuisce) continuamente ad un tasso costante (o variabile), la sua variazione seguirà la legge dell'aumento (o della diminuzione) esponenziale. Ad esempio, la massa di una sostanza radioattiva diminuisce nel tempo, l'intensità delle onde sonore o luminose diminuisce con la distanza, la relazione tra la reazione umana a vari stimoli e l'intensità dello stimolo, ecc., seguono tutti questa legge esponenziale. Anche le conclusioni di Malthus sull'aumento esponenziale della popolazione si basano sullo stesso modello matematico.
Euler dimostrò inoltre che il tasso di variazione istantanea (o derivata) della funzione esponenziale e^x è uguale a se stessa. Ad esempio, se la velocità di un oggetto in movimento a t istante è e^t, allora l'accelerazione a t istante è anche e^t. Questa proprietà unica della funzione e^x le conferisce un ruolo speciale nei calcoli del calcolo integrale, nella risoluzione delle equazioni differenziali e in varie deduzioni teoriche e applicazioni ingegneristiche.Durante i calcoli, i numeri e e e^x compaiono continuamente.
Con l'avanzamento della tecnologia e lo sviluppo della matematica, il numero e viene utilizzato sempre più ampiamente. Il numero e è presente in tutti i campi della matematica. Una delle ragioni principali è rappresentata dalle proprietà uniche della funzione esponenziale con base e.