De todas as sequências numéricas, a sequência de Fibonacci é, sem dúvida, a mais famosa. Em 1202, Leonardo de Fibonacci, um matemático nascido em Pisa, Itália, concluiu a sua obra-prima, o "Livro do Ábaco", onde estudou um interessante "problema da reprodução de coelhos", do qual resultou a sequência de Fibonacci.
O problema da reprodução de coelhos era, na verdade, um modelo matemático proposto por Fibonacci: Suponha que um casal de coelhos grandes produz um casal de coelhos pequenos por ano e que todos os coelhos vivem para sempre. Então, de que forma é que estes coelhos se reproduzem?
No primeiro ano, apenas há um casal de coelhos pequenos. No segundo ano, os coelhos pequenos tornam-se um casal de coelhos grandes, pelo que o número de coelhos permanece igual a 1. No terceiro ano, os coelhos grandes produzem um casal de coelhos pequenos, elevando o número de coelhos para 2. No quarto ano, os coelhos pequenos do ano anterior tornam-se um casal de coelhos grandes, elevando o número de coelhos para 3.
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Resumindo a lei da reprodução de coelhos, verifica-se que: o número de coelhos num determinado ano é igual ao número do ano anterior, mais o número de coelhos nascidos nesse ano. Ou seja, se designarmos o número de coelhos no n.º ano por Fn, então F1=F2=1 e, para n≥3, Fn=F(n-1)+F(n-2). Assim, obtém-se a seguinte sequência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,... onde, a partir do terceiro termo, cada termo é igual à soma dos dois anteriores. Dado que esta sequência foi estudada pela primeira vez por Fibonacci, os matemáticos passaram a chamá-la de sequência de Fibonacci.
A sequência de Fibonacci é uma sequência muito interessante, útil e famosa, com muitas propriedades surpreendentes, que os matemáticos ainda estudam hoje. Apresentamos, de seguida, algumas delas.
É possível construir um retângulo com lados de comprimento 1 e 3, utilizando seis quadrados com lados de 1, 1, 2, 3 e 5. De forma geral, n quadrados com lados de 1, 1, 2, 3, ..., n, podem ser utilizados para construir um retângulo com lados de Fn e F(n+1). Na verdade, é possível demonstrar, por indução matemática, a seguinte propriedade:
A sequência de Fibonacci também tem uma fórmula geral: onde φ é a famosa secção áurea.
Não é fantástico que uma sequência de números inteiros tenha a sua fórmula geral expressa por um número irracional? Já no século XVIII, os famosos matemáticos d'Alembert e Euler conheciam esta fórmula. Em meados do século XIX, o matemático francês Jacques Philippe Marie Binet redescobriu-a.
Além disso, pode-se observar que, à medida que n aumenta, a razão entre dois termos consecutivos da sequência de Fibonacci, F(n-1)/Fn, aproxima-se cada vez mais da secção áurea φ.
Para além das muitas propriedades matemáticas interessantes, os cientistas também observaram que certas quantidades na natureza seguem a sequência de Fibonacci, como o número de ramificações de um ramo de árvore, o número de pétalas de uma flor, a distribuição de grãos de fruta ou a disposição das espiras numa casca de noz. Na bela girassol, existem duas espiras em sentido oposto no disco, uma à esquerda e outra à direita. Se houver 13 espiras no sentido horário, haverá 21 espiras no sentido anti-horário, perfazendo um total de 34. As escamas das pinhas também são dispostas em espiral, com cinco colunas à direita e oito à esquerda nas pinhas mais pequenas. Além disso, muitas flores têm um número de pétalas igual a 3, 5, 8, 13, 21, etc. Se tiver interesse, pode contar as pétalas de algumas flores.
As folhas das plantas crescem em espiral no caule. Em 1611, o astrónomo alemão Kepler descobriu que, se se colocassem os ramos situados à volta do tronco ou do caule, a sua disposição seguiam uma espiral logarítmica.Os dois folhas mais próximas na mesma direção são consideradas o início e o fim de um ciclo, no qual podem existir muitas folhas, que podem dar várias voltas ao longo do ramo ou do tronco. Se contarmos o número total de folhas num ciclo como sendo m, e o número de voltas que as folhas dão nesse ciclo for n, então tanto m como n estão relacionados com a sequência de Fibonacci. Por exemplo, no caso da oliveira, n=1 e m=2; no carvalho, n=1 e m=3; na cerejeira e no carvalho, n=2 e m=5 (ou seja, há 5 folhas em cada ciclo, e o ciclo termina após 2 voltas); na pereira, n=3 e m=8; e no salgueiro, n=5 e m=13. Todos estes números fazem parte da sequência de Fibonacci, o que é realmente incrível!
Há muito mais histórias sobre a sequência de Fibonacci, especialmente a sua estreita relação com a proporção áurea.