A × B tem que ser igual a B × A?
Na prática da produção social e na pesquisa científica, muitas vezes é necessário lidar com alguns dados relacionados, como dados experimentais, dados estatísticos, dados e assim por diante. Para mostrar claramente esses dados, as pessoas geralmente fazem uma tabela, que pode ser abstraída na forma de uma matriz: n × m números são organizados em uma matriz retangular de n linhas e colunas, chamada matriz n × m, encerrada entre parênteses, cada número é um elemento da matriz, por exemplo, o volume de vendas de cada loja de uma cadeia comercial pode corresponder a uma matriz 2 × 3.
Em meados do século XIX, o matemático britânico Cayley Systems estabeleceu a teoria das matrizes, especificando as operações aritméticas das matrizes. A adição de matrizes é simples, duas matrizes com o mesmo número de linhas e colunas e a matriz resultante da adição de elementos de correspondentes. Multiplicação de matrizes é diferente: duas matrizes são multiplicadas, o número de colunas da matriz anterior e o número de linhas da matriz posterior são iguais, e os elementos da linha i e da coluna j do produto são iguais ao número resultante da soma dos elementos da correspondente da linha i da matriz anterior e da coluna j da matriz posterior.
Algumas matrizes iniciantes não entendem muito a multiplicação de matrizes. Por que é tão estranho, em vez de corresponder à multiplicação de elementos de como adição? Na verdade, a definição da multiplicação da matriz é mais adequada para as necessidades práticas. Tomando os dados da empresa comercial acima mencionada como exemplo, o volume de negócios e o cálculo do lucro de várias lojas e commodities podem ser correspondidos às relações entre tabelas através da multiplicação da matriz, que é a necessidade do cálculo prático; mais importante é a necessidade da transformação linear em matemática. Depois que a relação entre as variáveis é substituída, a matriz de coeficientes atende à relação de multiplicação, o que mostra que a definição é muito natural.
A multiplicação de matrizes tem outra propriedade estranha. Como é bem sabido, quando dois números a e b são multiplicados, sempre a × b = b × a, ou seja, a lei da comutação multiplicativa. No entanto, para a multiplicação de matrizes, se as duas matrizes são representadas por A e B, geralmente A × B e B × A não são iguais, o resultado do cálculo está relacionado à ordem anterior e posterior das duas matrizes multiplicadas, o que é muito diferente da operação de multiplicação comum.
As pessoas já estão acostumadas com a lei de comutância de multiplicação bem conhecida e têm dúvidas sobre a propriedade não intercambiável da multiplicação de matrizes. No entanto, essa multiplicação de matrizes não intercambiável encontrou um lugar para a criação da mecânica quântica. No verão de 1925, o físico alemão Heisenberg, de 24 anos, construiu uma nova teoria quântica, cujos resultados de multiplicação dependiam da ordem de multiplicação. Ele entregou o artigo para o seu mentor, Born, que lembrou da multiplicação de matrizes. A multiplicação que Heisenberg usou era a multiplicação de matrizes, que na época não era familiar para a maioria dos físicos. Heisenberg foi premiado com o Prêmio Nobel de Física em 1932 por sua contribuição importante na criação da teoria da mecânica quântica.