Em 1883, o matemático alemão Cantor apresentou um conjunto muito estranho. Considere o intervalo 0, 1 composto por todos os números reais entre 0 e 1, divida-o em três partes e remova o intervalo aberto (1/3, 2/3). Assim, o conjunto restante é a união dos dois intervalos restantes, ou seja, 0, 1/3 ∪ 2/3, 1. Em seguida, divida novamente cada intervalo em três partes e remova o intervalo aberto (1/3, 2/3), obtendo um conjunto de quatro intervalos restantes. Continue removendo um terço do meio de cada intervalo e faça isso indefinidamente. O conjunto de números restantes é chamado de conjunto de Cantor. Pode-se ver que, após remover o meio de cada intervalo, o comprimento total de todos os intervalos restantes se tornará 2/3 do original. Como o comprimento total do intervalo inicial era 1, após a n-ésima operação, o comprimento total de todos os intervalos restantes será (2/3)^n. Quando n tende a infinito, (2/3)^n tende a 0, portanto, o "comprimento total" do conjunto de Cantor é 0. No entanto, isso apenas mostra que o conjunto de Cantor não contém nenhum intervalo, e não que não existem números no conjunto de Cantor. Durante a geração do conjunto de Cantor, como cada intervalo removido é um intervalo aberto, os pontos finais de todos os intervalos restantes não são removidos, portanto, números como 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9 etc. permanecerão no conjunto de Cantor. Na verdade, como todas as frações do tipo (1/3)^n serão mantidas, existem infinitos números no conjunto de Cantor! Mais interessante ainda, o conjunto de Cantor também contém muitos números além dos "valores finais". Embora existam infinitos números no conjunto de Cantor, intuitivamente parece que deve haver muito menos do que os números reais no intervalo 0, 1. No entanto, surpreendentemente, isso não é verdade, na verdade, há tantos números no conjunto de Cantor quanto os números reais no intervalo 0, 1! É muito mais do que os números racionais que parecem cobrir o intervalo 0, 1! Para ilustrar isso, representamos todos os números entre 0 e 1 como números decimais de base três. Se dividirmos esses números em três partes iguais, eles serão exatamente os números entre 0 e 0,1; 0,1 e 0,2; e 0,2 e 1. O intervalo removido será exatamente os números cujo primeiro dígito é 1, e os números restantes serão aqueles cujo primeiro dígito é 0 ou 2. Na próxima etapa, removeremos um terço do meio de cada intervalo, ou seja, todos os números cujo segundo dígito é 1, e os números restantes serão aqueles cujo segundo dígito também é 0 ou 2... continuando assim indefinidamente, os números restantes no conjunto de Cantor serão exatamente os números decimais de base três que consistem apenas de 0 e 2! Por exemplo, o número 1/4 em notação decimal de base três é 0,020202..., portanto, 1/4 realmente pertence ao conjunto de Cantor. Além disso, embora 1/3 em notação decimal de base três seja 0,1 e 1/9 em notação decimal de base três seja 0,01, podemos reescrevê-los como números decimais infinitamente repetitivos 0,02222... e 0,002222..., (o mesmo raciocínio que 0,999... = 1), portanto, eles também estão no conjunto de Cantor. Em seguida, podemos facilmente mapear os números do conjunto de Cantor para todos os números reais no intervalo 0, 1. Para qualquer número no conjunto de Cantor, primeiro convertê-lo em notação decimal de base três, substituindo todos os dígitos 2 por 1, e depois considerá-lo como um número binário e reconvertê-lo em notação decimal, que será um número real entre 0 e 1. Da mesma forma, para todos os números reais no intervalo 0, 1, primeiro convertê-los em notação binária, substituindo todos os 1 por 2, e depois considerá-los como um número decimal, que será um número real entre 0 e 1.Um número decimal no sistema ternário torna-se um número do conjunto de Cantor. Portanto, existe uma correspondência um-para-um entre os números do conjunto de Cantor e os números reais do intervalo 0, 1, e o número de números em ambos os conjuntos é o mesmo!
O "comprimento total" do conjunto de Cantor é 0, mas o número de elementos que ele contém é igual ao do intervalo de números reais. Essas propriedades estranhas rapidamente chamaram a atenção dos matemáticos. O conjunto de Cantor desempenha um papel importante em vários ramos da matemática, incluindo teoria dos conjuntos, topologia, teoria da medida, análise real e teoria dos fractais.