Os números racionais e irracionais juntos formam os números reais. Depois de descobrir que os números racionais podem ser tão numerosos quanto os números inteiros positivos, que fazem parte deles, Cantor naturalmente se perguntou: os números reais podem ser tão numerosos quanto os números racionais, que fazem parte deles? Após uma investigação aprofundada, Cantor chegou a uma conclusão negativa. Para ilustrar a conclusão de Cantor, vamos primeiro observar um fato: a linha que parte do ponto A faz com que os pontos do semicírculo correspondam aos pontos do eixo real, enquanto as linhas verticais fazem com que os pontos do intervalo (0, 1) correspondam aos pontos do semicírculo. Portanto, podemos afirmar que os números reais do intervalo (0, 1) são tão numerosos quanto todos os números reais.
Agora, Cantor só precisa provar que os números reais do intervalo (0, 1) não podem ser organizados em uma sequência infinita como os números racionais. Para isso, ele forneceu uma prova muito engenhosa por contradição: suponha que os números reais do intervalo (0, 1) possam ser organizados em uma lista, denominada x₁, x₂, x₃, ... Sabemos que cada número real do intervalo (0, 1) pode ser representado exclusivamente como um número decimal infinito, e cada xᵢ pode ser representado como xᵢ=0.aᵢ₁aᵢ₂aᵢ₃… (i=1, 2, ...).
Agora, construa um novo número x=0.b₁b₂b₃…, de modo que b₁≠a₁₁, b₂≠a₂2, b₃≠a₃3, …, e assim por diante. Este número x, naturalmente, é um número real do intervalo (0, 1), mas não pode ser qualquer um dos números da sequência x₁, x₂, x₃, ...
Isso mostra que, independentemente de como os números reais do intervalo (0, 1) são organizados, sempre haverá pelo menos um número que não pode ser incluído nesta sequência. Portanto, embora os números reais do intervalo (0, 1) e os números racionais tenham infinitos, o infinito deles (ou seja, o infinito de todos os números reais) é maior do que o infinito de todos os números racionais (ou seja, o infinito de todos os números naturais). Como os números reais, menos os números racionais, são os números irracionais, é óbvio que o conjunto de todos os números irracionais também não pode ser organizado em uma sequência (porque dois conjuntos sempre podem ser combinados em um único conjunto), o que mostra que os números irracionais são mais numerosos do que os números racionais.