Desde a introdução da unidade imaginária i = , os matemáticos começaram a usar cada vez mais números complexos para resolver problemas matemáticos. No entanto, inicialmente, os matemáticos não reconheciam os números complexos como números reais, considerando-os como algo irreal e imaginário. O matemático Euler contribuiu significativamente para o estudo dos números complexos, tendo introduzido o nome "imaginário" e o símbolo i para a unidade imaginária, além de formular a famosa fórmula de Euler e iθ = cosθ + isinθ. No entanto, Euler também não reconhecia a realidade dos números complexos. Ele disse: "Todos os números da forma e são impossíveis, pois representam a raiz quadrada de um número negativo. Para esses números, só podemos afirmar que eles não são nada, nem são mais do que nada, nem menos do que nada. Eles são puramente fictícios". Esta situação persistiu por quase 200 anos, até a era de Gauss no século XIX, quando terminou.
Sabemos que os números reais podem ser representados por um ponto no eixo numérico. Então, como representar o número imaginário i? Naquela época, vários matemáticos europeus, como Wessel, Argand e Gauss, observaram que um número multiplicado por -1 é igual ao seu oposto. No eixo numérico, isso significa girar 180° em torno do ponto O. Se multiplicado por -1 novamente, isso equivale a voltar ao ponto inicial. Agora i^2 = -1, o que indica que multiplicar i duas vezes é o mesmo que girar 180° em torno do ponto O. Portanto, multiplicar i uma vez deve ser girar 90° (no sentido anti-horário). Assim, pode-se imaginar que todos os números imaginários puros devem estar em uma linha perpendicular ao eixo numérico real, passando pelo ponto O. Este eixo é chamado de eixo imaginário. O eixo numérico real é chamado de eixo real, e os dois eixos formam um sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, onde a + bi representa um ponto (a, b) neste plano. Este plano é chamado de plano complexo.
Este método dá aos números complexos e suas operações de adição, subtração, multiplicação e divisão um significado geométrico óbvio. A partir daí, os números complexos tiveram um modelo real, e as pessoas começaram a considerá-los como algo real. Os números complexos, que antes eram imaginários e irrealistas, agora se tornaram algo concreto. O modelo de Gauss e outros não só trouxe realismo aos números complexos e dissipou as dúvidas das pessoas, mas também associou os números complexos à geometria plana e às operações vetoriais, permitindo que muitos problemas matemáticos e físicos no plano fossem resolvidos usando números complexos. No século XIX, uma disciplina chamada teoria das funções complexas foi desenvolvida como uma extensão do cálculo para funções de variáveis complexas. As funções complexas têm aplicações importantes na hidrodinâmica e na mecânica da elasticidade, como o uso de mapeamentos conformes no projeto de asas. Ainda mais surpreendente é que as funções complexas são usadas para estudar a distribuição de números primos e se desenvolveram em um importante ramo da matemática moderna - a teoria analítica dos números. Na matemática contemporânea, tanto a matemática pura quanto a matemática aplicada não podem prescindir de números complexos. As pessoas do passado nunca imaginariam que esses números "puramente imaginários" pudessem ser tão poderosos hoje em dia.