Como sabemos, os números da forma a + b i são chamados de números complexos, onde a e b são números reais, e i representa um número que é muito diferente dos números reais que conhecemos e, aparentemente, não encontramos tais números no nosso mundo real. Por que temos de introduzir estes números? Os livros de matemática do ensino médio já nos ensinaram que, quando resolvemos uma equação quadrática ax 2 + bx + c = 0, se ∆ = b 2 - 4ac < 0, a equação tem uma pares de raízes conjugadas. De facto, a introdução de números complexos permite que também tenhamos raízes quando ∆ < 0, mas neste caso, a possibilidade de a equação não ter raízes no domínio dos números reais pode ser mais realista, e parece desnecessário introduzir artificialmente raízes complexas invisíveis e inacessíveis.
Historicamente, os números complexos foram introduzidos no século XVI pelo matemático italiano Cardano. O principal objetivo dele ao introduzir os números complexos era resolver equações algébricas de terceiro grau. Para isso, vamos considerar um exemplo, a equação cúbica x 3 - 7x + 6 = 0. É fácil verificar que esta equação tem 3 raízes reais: x = 1, x = 2 e x = -3. Uma vez que uma equação cúbica tem, no máximo, 3 raízes diferentes, estas 3 raízes são todas as raízes da equação. Cardano já conhecia a fórmula de resolução de equações cúbicas do tipo x 3 + px + q = 0, onde agora, ao aplicar esta fórmula à equação x 3 - 7x + 6 = 0, temos p = -7 e q = 6, de modo que, na fórmula acima, é necessário lidar com números como estes para, finalmente, obter 3 raízes reais. Cardano observou que, quando ∆ < 0, para obter as raízes de uma equação cúbica (mesmo que sejam raízes reais), não podemos evitar a operação de extrair a raiz de um número negativo, e somos obrigados a lidar com novos números gerados pela extracção da raiz de um número negativo, como os acima mencionados. Cardano introduziu estes novos números na matemática. Na altura, as pessoas escreviam-nos de forma unificada, onde a e b eram números reais. Mais tarde, Euler sugeriu usar i para os substituir, dando origem à notação actual dos números complexos: a + b i.
Após a introdução dos números complexos, estes não só "não saíram" da matemática, como também a sua utilidade aumentou continuamente. Os números complexos são utilizados não só para resolver equações cúbicas ou quádricas, mas também para o cálculo de funções trigonométricas. O famoso teorema de Descartes é um exemplo. Ao tomar n = 2 e n = 3, podemos obter as fórmulas de duplicação e triplicação dos ângulos das funções trigonométricas, e a partir daí, também podemos obter a fórmula de n-ésimo ângulo. Há muitos problemas no domínio dos números reais que podem ser resolvidos de forma simples ou engenhosa no domínio dos números complexos. Para isso, o matemático francês Adám há uma avaliação muito adequada: o caminho mais curto entre dois verdadeiros no domínio dos números reais é através do domínio dos números complexos.