Nos livros didáticos do ensino médio, além do logaritmo comum lg x, existe também o logaritmo natural ln x, que representa o logaritmo com base e = 2,718281828… Por que o logaritmo com base e é chamado de logaritmo natural? Nos livros didáticos modernos, a função logarítmica é definida como a inversa da função exponencial, mas não foi sempre assim historicamente. O logaritmo foi introduzido pela primeira vez pelo matemático escocês John Napier em 1614. Os logaritmos inventados por Napier transformaram a multiplicação de dois números em adição, simplificando enormemente os cálculos complexos encontrados na astronomia, navegação e outros campos científicos da época. Uma função que satisfaça as seguintes propriedades é chamada de função logarítmica: y = f (x) (x > 0); f (x1x2) = f (x1) + f (x2); f (1) = 0.
Durante a busca por uma função logarítmica, foi descoberto o seguinte fato: considere uma hipérbole y = c/x no primeiro quadrante, para qualquer constante positiva c. Seja s um número positivo e a área sombreada Lc (s) seja definida. Convenção: quando s = 1, a área é 0; quando s > 1, a área é positiva; e quando s < 1, a área é negativa. Sob esta convenção, a função Lc (s) é uma função logarítmica.
Agora, a função logarítmica correspondente a c = 1 é chamada de y = L (s). Na época, L (s) era chamado de logaritmo natural, porque era a função logarítmica mais simples Lc (s). Para facilitar os cálculos, poderia ser usado para representar outras funções logarítmicas. Na verdade, logo no segundo ano após a introdução do logaritmo por Napier, alguém usou-o para compilar tabelas de logaritmos, que foram anexadas ao livro de Napier. No entanto, naquela época, as pessoas não conheciam o número e nem o conceito de "base da função logarítmica".
No século XVIII, Euler associou a função logarítmica à função exponencial, considerando a função logarítmica como a inversa da função exponencial, e foi então que surgiu o conceito de base da função logarítmica. Euler também descobriu que o número chamado de base do logaritmo natural era exatamente o número e.