A base e do logaritmo natural, e = 2,718281828…, é uma constante importante na matemática. Por que esta constante foi introduzida? Quais são as suas aplicações mais importantes? Vamos analisar isso em detalhe.
Comecemos por considerar um problema de juros compostos numa situação ideal: imaginemos um banco com uma taxa de juros anual de 1%. Se um cliente depositar 1 yuan no início do ano, o saldo no final do ano será de 1 + 1 = 2 yuans. Se o banco aplicar a mesma taxa de juros a depósitos de curta duração, calculando-a em função da percentagem do ano que representa o prazo do depósito (por exemplo, meio ano a 1/2, três meses a 1/4, um mês a 1/12, etc.), o cliente terá uma estratégia de depósito melhor: se depositar 1 yuan por meio ano e renovar o depósito no final do período com o capital e os juros, o saldo no final do ano será de . Se o período de depósito for de três meses, o saldo no final do ano será de . Se for de um mês, o saldo no final do ano deverá ser de . A partir daqui, podemos ver que, quanto menor for o período de depósito, maior será o saldo no final do ano, calculado com juros compostos. Suponhamos que o banco permita prazos de depósito ainda mais curtos, por exemplo, 1 dia, 1 hora ou 1 minuto, ou até menos. Qual seria o saldo no final do ano após um depósito de 1 yuan durante 1 ano? Os depositantes tornar-se-iam muito ricos?
Em 1697, o matemático suíço Jacob Bernoulli considerou esta questão. Se um ano for dividido em n partes iguais e os juros forem calculados com base no período de um ano, o saldo no final do ano será de . Jacob Bernoulli provou que, quando n tende para o infinito, este saldo tende para um valor fixo entre 2 e 3, que agora sabemos ser igual a 2,718281828… Em termos de limites matemáticos, quando n tende para o infinito, existe um limite para esta sequência de juros compostos. Isto significa que, independentemente do período de depósito que o cliente encurte, o saldo no final do ano não excederá o limite desta sequência, que é 2,718281828… Se os juros forem calculados a cada momento, o saldo no final do ano será este limite.
Mais tarde, o matemático suíço Euler encontrou novamente este limite ao estudar as funções exponenciais e logarítmicas, designando-o por e. Provou também que e é um número irracional. Mais importante ainda, Euler provou que, para qualquer número real x, quando n tende para o infinito, a sequência tende para e^x, ou seja, a função exponencial com base e. Isto é simplesmente uma generalização do exemplo anterior de juros compostos: o capital continua a ser 1, mas a taxa de juros é alterada para x. Nestas condições, se os juros forem calculados a cada momento, o saldo no final do ano será e^x. No entanto, aqui a "taxa de juros" x pode ser positiva ou negativa, sendo qualquer número real não nulo.
O banco acima é, obviamente, um modelo matemático fictício, mas existem muitos fenómenos naturais reais que se enquadram neste modelo. Sempre que uma quantidade aumenta (ou diminui) a um ritmo fixo a cada momento (ou a cada instante), a sua variação segue a lei de crescimento exponencial (ou decrescimento). Por exemplo, a massa de um material radioativo decai com o tempo, a intensidade de ondas sonoras ou luminosas diminui com a distância, a relação entre a resposta humana a vários estímulos e a intensidade do estímulo, etc., todos seguem esta lei exponencial. As conclusões de Malthus sobre o crescimento exponencial da população também se baseiam no mesmo modelo matemático.
Euler provou ainda que a taxa de variação instantânea (ou derivada) da função exponencial e^x é igual a si própria. Por exemplo, se a velocidade de um objeto em movimento for e^t num dado momento, a sua aceleração nesse momento será também e^t. Esta propriedade única da função e^x desempenha um papel especial nos cálculos de cálculo, na resolução de equações diferenciais e noutras aplicações teóricas e de engenharia.Durante os cálculos, o número e e a função e^x aparecem constantemente.
Com o avanço da tecnologia e o desenvolvimento da matemática, o número e tem sido cada vez mais utilizado. Este número pode ser encontrado em diversas áreas da matemática. Uma das principais razões para isso é a natureza única da função exponencial com base em e.