No verão de 1900, mais de 200 dos matemáticos mais proeminentes do mundo reuniram-se em Paris, França, para um Congresso Internacional de Matemáticos. Na reunião, o famoso matemático alemão Hilbert fez uma importante palestra intitulada "Problemas Matemáticos". Nela, ele listou uma série de problemas matemáticos que considerava os mais importantes. Esses problemas despertaram o interesse de muitos matemáticos e tiveram um impacto profundo no desenvolvimento da matemática. Cem anos depois, em 2000, os matemáticos do Instituto Clay de Matemática também realizaram uma conferência matemática em Paris. Nela, os participantes também listaram alguns dos problemas matemáticos que consideravam os mais importantes. Embora a sua reputação possa não ser comparável à de Hilbert, eles fizeram algo que Hilbert não conseguiu: estabelecer um prémio de um milhão de dólares para cada problema. Estas duas conferências matemáticas, além de terem ocorrido em Paris, França, têm uma coisa em comum: apenas um dos problemas listados era comum a ambas. Este problema era a Conjectura de Riemann, proposta por Riemann em 1859, que é considerada por muitos matemáticos como uma das mais importantes conjecturas matemáticas.
O que é a Conjectura de Riemann? A Conjectura de Riemann não pode ser descrita completamente usando matemática elementar. Em termos gerais, trata-se de uma conjectura sobre uma função de variável complexa chamada função zeta de Riemann (ou seja, uma função cujos valores são obtidos no domínio dos números complexos). Tal como muitas outras funções, a função zeta de Riemann assume valores zero em alguns pontos, que são chamados de zeros da função zeta de Riemann. Entre esses zeros, há alguns que são particularmente importantes e são chamados de zeros não triviais da função zeta de Riemann. A Conjectura de Riemann prevê que todos estes zeros não triviais estão localizados numa linha especial chamada "linha crítica", que é uma linha paralela ao eixo imaginário e que passa pelo ponto 1/2 no eixo real.
A Conjectura de Riemann ainda está por resolver (não foi nem provada nem refutada) até hoje. No entanto, os matemáticos têm estudado-a profundamente, tanto a partir da análise como da computação numérica. Até agora, o resultado mais forte obtido na análise é a prova de que pelo menos 40% dos zeros não triviais estão localizados na linha crítica; e o resultado mais forte obtido na computação numérica é a verificação de que os primeiros 100 biliões de zeros não triviais estão todos localizados na referida linha crítica.
Por que é a Conjectura de Riemann tão importante? É porque é muito difícil? Não. Claro que a Conjectura de Riemann é muito difícil, mas, se a dificuldade fosse o único critério, então outras conjecturas matemáticas famosas não seriam menos importantes. Por exemplo, a Conjectura de Fermat demorou 350 anos para ser provada; a Conjectura de Goldbach foi proposta 100 anos antes da Conjectura de Riemann, mas, tal como esta, ainda permanece inabalável até hoje. Então, por que é a Conjectura de Riemann considerada a conjectura matemática mais importante? A principal razão é que está intrinsecamente ligada a outras proposições matemáticas. Segundo as estatísticas, mais de 1000 proposições matemáticas modernas pressupõem a validade da Conjectura de Riemann (ou das suas generalizações). Isto significa que, se a Conjectura de Riemann e as suas generalizações forem provadas, todas as 1000 proposições matemáticas poderão ser transformadas em teoremas; e, inversamente, se a Conjectura de Riemann for refutada, pelo menos algumas das 1000 proposições matemáticas inevitavelmente se tornarão "vítimas". O facto de uma conjectura matemática estar tão intimamente ligada a um número tão elevado de proposições matemáticas é único na matemática. Em segundo lugar, a Conjectura de Riemann está intimamente relacionada com o problema da distribuição de números primos na teoria dos números, uma das tradicionais áreas fundamentais da matemática, apelidada por Gauss de "rainha da matemática". O problema da distribuição de números primos é, por sua vez, uma questão tradicional e extremamente importante na teoria dos números, que tem atraído o interesse de muitos matemáticos. Isto também aumenta significativamente a importância da Conjectura de Riemann entre os matemáticos.A posição e a importância da Conjectura de Riemann na matemática. Além disso, a importância de uma conjectura matemática também pode ser medida pela capacidade de gerar métodos e resultados que contribuam e influenciem outras áreas da matemática durante o estudo dessa conjectura. De fato, um dos primeiros resultados obtidos pelos matemáticos durante o estudo da Conjectura de Riemann levou diretamente à prova de um importante teorema sobre a distribuição dos números primos - o Teorema dos Números Primos. Por último, e mais surpreendentemente, a importância da Conjectura de Riemann vai além do âmbito da matemática pura, "invadindo" o território da física. No início da década de 1970, descobriu-se que algumas pesquisas relacionadas à Conjectura de Riemann tinham uma ligação significativa com certos fenómenos físicos muito complexos. A razão dessa ligação ainda é um mistério, mas a sua existência, sem dúvida, aumentou ainda mais a importância da Conjectura de Riemann.