Na sequência de números primos, alguns números primos adjacentes têm uma diferença de 2, como 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, etc. Estes números primos são chamados de números primos gémeos. À primeira vista, parece que os números primos gémeos são bastante densos na sequência de números primos, mas na realidade não é o caso, sendo cada vez mais difícil encontrá-los à medida que avançamos. Pode-se provar que os números primos gémeos são bastante escassos na sequência de números primos, com uma densidade de zero; ou seja, quase todos os números primos não são números primos gémeos. Apesar disso, os números primos gémeos surgem de vez em quando. Em 2011, foram descobertos dois números primos gémeos com 200700 dígitos: 3756801695685 × 2666669 ± 1. Parece que os números primos gémeos são infinitos. Supõe-se que existem infinitas pares de números primos gémeos. Esta conjectura é tão difícil como o problema de Goldbach para os números pares e ainda não foi resolvida. Em 2013, o matemático chinês-americano Zhang Yitang provou a existência de um número par positivo n, não superior a 7×10^7, de tal forma que existem infinitas pares de números primos p e q tais que p q = n. Este foi o progresso mais notável desde a proposta da conjectura dos números primos gémeos.
A conjectura dos números primos gémeos pode também ser enunciada da seguinte forma: o polinómio x e x + 2 podem assumir valores primos infinitas vezes. Utilizando a linguagem dos polinómios, pode-se também propor a conjectura dos três números primos: o polinómio x, x + 2 e x + 6 podem assumir valores primos infinitas vezes. De forma mais geral, os matemáticos britânicos Hardy e Littlewood propuseram a conjectura dos k números primos, onde k é um número inteiro positivo fixo. Naturalmente, nenhuma das conjecturas acima foi provada.
A conjectura de Erdős-Turán considera, por outro lado, algumas ligações entre os números primos, sem exigir uma diferença específica (como os 2 na conjectura dos números primos gémeos), mas exigindo um número arbitrário de números primos. A conjectura de Erdős-Turán afirma que existe uma sequência aritmética infinita de números primos na sequência de números primos. Em 2004, Taubes e Green combinaram a teoria de percurso e a teoria analítica dos números para resolver este problema matemático por resolver há muitos anos, o que foi uma das principais contribuições de Taubes para o Prémio Fields.