我们在學校學過解方程式，其中最常解的是所谓的代数方程式，比如 3x -1=0，x2 -2x -8=0等。這些方程式的主要特點是，每個含未知數的項都只包含未知數的正整數次方。此外，這些方程式還有兩個重要特點：項數有限，且未知數的系數都是整數。現在，我們來回答這個問題：實數是否都是整系數代數方程式的根？為了便於理解，我們將整系數代數方程式簡稱為代數方程式。首先，很显然，所有有理數 q =m /n 都是代數方程式 nxm =0 的根，其中 m,n 是整數（n ≠ 0）。其次，學過一元二次方程式的人都知道，代數方程式的根不一定是理數。比如 x2 -2 =0 的兩個根，就是無理數。因此，整系數代數方程式的根既可以是有理數，也可以是無理數，从而至少表面上具有表示所有実數的潜力。
但有潜力不等于一定能做到，關鍵得有证明。最早否定 “實數都是整系數代數方程式的根” 這個問題並給出证明的是法國數學家李維爾。他不但证明了某些実數不是任何整系數代數方程式的根，还具体构造出了那样的実數，从而以最雄辩的方式给出了否定的答案。李維爾最初構造的那些非代數方程式根的実數，是用連分数表示的，后来他还用十进位小數構造出了這樣的実數。為了紀念李維爾的貢獻，人们將李維爾構造出的那一類數稱為李維爾數。
現在我們知道，許多重要的実數，比如自然對數的底 e、圆周率 π等，都不是整系數代數方程式的根。為了便於表述，數學家把能用整系數代數方程式的根表示的數稱為代數數，把不能用整系數代數方程式的根表示的數稱為超越數。実數既包含代數數，也包含超越數。整數和π就是代數數的例子；e和π則是超越數的例子。我們的问题用這個新術語可以重新表述為：実數都是代數數吗？上文已經說明答案是否定的。
然而，答案雖然已經揭晓，要证明一個具体的數是超越數往往並不容易。比如，要证明兩個最重要的常數 e 和π是超越數，就花了數學家不少力氣。e 的超越性是由法國數學家埃爾米特在 1873 年证明的。而判断π是否是超越數則更加困难，直到 1882 年才由德國數學家林德曼证明π也是超越數。而像 e+π 和 e-π 這樣的簡單組合是否是超越數，直到今天還是個谜。
接下來我們還可以問一個問題，那就是代數數多還是超越數多？從超越數的構造和证明如此困難来看，許多讀者可能会猜測只有很少數是超越數。事實恰恰相反。1874 年，德國數學家康托爾证明了超越數遠遠多於代數數（这里涉及無限集合元素數目的比較）。事實上，他证明了実數幾乎全都是超越數 —— 换句话说，如果從実數中随機地挑出一个来，它是代數數的概率是 0！
超越數的存在不仅具有抽象的分類意義，而且可以解决一些具体的數學問題。比如，幾何中的尺規作圖方法所能作出的線段長度，已經被证明只能是代數數（如給定单位長度）。因此π是超越數這個看似只有抽象分類意義的結果，直接证明了幾何學中的許多問題，比如三角學中的重要定理，都可以用超越數來表達。困扰數學家超過 2300 年的 “化圆为方” 问题，属于 “尺规作图三大难题” 之一，是不可能实现的。