對大多數人來說，“整体大於部分”是天經地義、不容置疑的事實。古希臘數學家欧几里得曾將這個原理写進《幾何原本》中。那要是在現在，有人告诉你整体和它的部分在數量上可能一樣多，你會不會感到很驚讶？
為了清楚解釋這個問題，我們先來看看說兩個事物數量一樣多是怎麼回事。假如在文藝演出现場，我們看到座無虚席，而且沒有任何人站着，那么我們不必數座位數和人数，就可以知道它们一樣多了。這是因为座位和人之间可以一一对应。抽象地說就是：如果兩個集合之間可以建立起一一对应，那么它们的元素數量一樣。显然，一个有限集合是不可能和它的部分建立起一一对应的。但無穷集合的情况會是怎樣呢？
1638年，意大利物理學家伽利略在他的書中記錄了這樣一個令他吃惊的事實：這表明每個正整數都和它的平方數一一对应，因此平方數和正整數一樣多。但平方數只是正整數的一部分，所以正整數可以和它的部分一樣多。伽利略的發現當時並沒有引起人們的注意。200年後，一位名叫波尔查诺的捷克數學家再次指出了同樣的事實，而且更為一般化：一個無穷集合可以和它的真子集作成一一对应。但這次仍然沒有引起广泛注意。直到1872年之後，德國數學家康托爾才真正開始了對無穷集合的深入研究。康托爾確信，一個集合能和它的真子集大小相等正是無穷集合的本質特征。不但如此，他還發現關於無穷集合會發生更多人們意想不到的事情。