所有的一元代数方程都有求解公式吗？像 2x - 6 = 0、x2 - 3x + 2 = 0、x3 - 5x - 12 = 0 等方程都被称为一元代数方程。根據最高次項的數量，它们又分别被称为一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程等等。对于一元一次方程，解法非常简单。而对于一元二次代数方程的求解方法，许多古代文明也都在探索中得到了正确的结果。事实上，对于一般的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0），我们有求解公式：公式中，通过方程的系数加减乘除和根式运算表示了方程的解，因此由这样的公式给出的解称为方程的根式解。
12世纪时，欧洲数学家掌握了二次方程的求解方法。之后，他们开始探索一元三次方程的根式解问题。几个世纪过去了，许多人的努力都以失败告终。1494年，有数学家甚至做出悲观预言：求解三次方程，就像化圆为方问题一样，是根本不可能的。然而在1500年前后，意大利数学家费罗（Ferrari）首次取得成功，他得到了缺项一元三次方程 x3 + mx = n 的求解公式。但他没有发表自己的成果，直到临终前，才将自己的解法传给了学生菲奥尔（Fior）等人。不久，另一位意大利数学家塔尔塔利亚（Tartaglia）声称获得了三次方程的求解方法。1535年，一场公开较量在菲奥尔和塔尔塔利亚之间展开。两人约定在米兰进行公开比赛，每人出30道三次方程问题，谁解出的题目多谁就获胜。最初，塔尔塔利亚只掌握了没有一次项的 x3 + mx2 等一元三次方程的求解，为了在比赛中获胜，他经过多日的苦思冥想，在比赛前夕终于找到了多种类型一元三次方程的解法。比赛结果显示，塔尔塔利亚取得了辉煌的胜利。
比赛结束后不久，另一位数学家卡尔达诺（Cardano）听说了这件事。此后，他多次向塔尔塔利亚请教三次方程的解法，最终在立下永不泄密的誓言后，塔尔塔利亚向卡尔达诺公开了自己的秘密。此后，卡尔达诺经过钻研，终于对各种类型的三次方程都得到了解法及证明。1545年，卡尔达诺出版了他的最重要的数学著作《大术》，将自己的发现公之于世，同时此书中还包括了他的学生费拉里（Ferrari）的一项重要发现：一元四次方程的一般解法。卡尔达诺的失信激怒了塔尔塔利亚，一场争吵不可避免地发生了。1548年8月10日在米兰举行的公开辩论使这场冲突达到了白热化。在这次与费拉里公开但不公正的较量中，塔尔塔利亚失败了。直到现在，三次方程的求解公式仍被称为卡尔达诺公式。
然而，数学永不停步。一个问题的解决往往意味着新问题的诞生。在《大术》之后，人们立即投入到下一场较量中，即如何找到五次方程的根式公式。没有人怀疑，只要有足够的天才，一元五次方程也是可以解决的。但一个世纪过去了，又一个世纪过去了，没有人取得成功。
1823年底，真正的突破出现了。年仅21岁的挪威数学家阿贝尔（Abel）证明了一般的一元五次代数方程没有根式解。这正是之前两个多世纪里人们对这个“圣杯”的寻求无功而返的原因。阿贝尔你複製了自己的研究成果几份。為了節省印刷費用，他浓缩了自己的核心思想，仅用了 6 页纸。但过于简化的证明使他的论文变得晦涩难懂，因此当时未能给数学界留下深刻印象。阿贝尔一生饱受贫困和疾病的折磨，1829 年 4 月 6 日，年仅 27 岁的他因病去世。
阿贝尔去世后不久，他的证明开始被人们接受，但仍有新的难题有待解决。哪些方程可以用根式求解，哪些不能，有没有一个合适的判别方法？阿贝尔过早离世，未能解决这个问题，所以它被留给了伽罗瓦——这位在整个数学史上最具传奇色彩和悲剧性的数学家。
17 岁时，伽罗瓦在这方面的研究已经取得进展，随后他在几年时间里陆续提交了多篇研究论文。然而，他的论文或被退回，或被遗失，或不被理解，一直未能得到数学界的认可。越来越沮丧的伽罗瓦随后遭遇了一连串不幸的个人事件。在沉重的打击下，他的热情转向了政治，为此两次入狱。1832 年，他卷入了一场无谓的决斗。决斗前一晚，他通宵工作，简要阐述了自己的研究成果。1832 年 5 月 30 日，伽罗瓦在决斗中不幸倒下，次日去世，年仅 21 岁。10 多年后，他的论文重新被编辑出版，人们认可了他的天才思想。
伽罗瓦思想之美在于，他不仅证明了一般的一元五次（及更高次）代数方程无法用根式求解，还解释了为什么一般的一元二次、三次和四次方程可以求解。他的研究同时给出了代数方程是否有根式解的明确判别标准，从而为历经 300 年的代数方程根式可解性难题画上了圆满的句号。伽罗瓦工作的划时代意义更体现在，在解决这一问题的过程中，他引入了群论的思想，开创了数学研究的新局面。