在質數序列中，某些相鄰的質數之差為 2，例如 3 和 5、5 和 7、11 和 13 等，这样的質數稱為孪生素數。乍看之下，似乎孪生素數在質數序列中分布得非常密集，但实际上并非如此，越往後越難以找到。可以证明，孪生素數在質數序列中分布得非常稀疏，其密度為 0；也就是說，幾乎所有的質數都不是孪生素數。儘管如此，孪生素數还是會不時出現。2011 年，人們發現了兩個有 200700 位數的孪生素數：3756801695685×2666669 ± 1^。看来孪生素數似乎永無止境。人們猜想：存在無限多對孪生素數。這個猜想的难度和哥德巴赫猜想一樣大，至今尚未解决。2013 年，旅美華人數學家張益唐证明了存在一個不超過 7×10^7 的正偶數 n，使得存在無限多對满足 pq = n 的質數 p 和 q。这是孪生素數猜想提出以來最杰出的研究進展。
孪生素數猜想也可以表述為：多項式 x 和 x + 2 可以同時取質數值無限多次。使用多項式的語言，还可以提出三生素數猜想：多項式 x、x + 2 和 x + 6 可以同時取質數值無限多次。更一般地，英國數學家哈代和李特尔伍德提出了 k 生素數猜想，其中 k 是一個事先固定的正整數。當然，上述所有猜想都尚未得到证明。
埃爾德什-图兰猜想則從另一個角度考慮質數之間的一些關係，它對質數之間的差沒有特定要求（比如孪生素數的差為 2），但對質數的數量有任意多的要求。埃爾德什-图兰猜想指出：質數序列中存在任意長的等差子序列。2004 年，陶哲轩和格林合作，将遍历理論和解析數理结合起来，攻克了這個多年的未解數理难题，这也是陶哲轩获得菲尔兹奖的主要貢獻之一。