質數到底是有限個還是無限個？這是个很基本的问题。事实上，质数有无穷多个，但这并不是显而易见的。关于质数无限性的第一个证明出现在欧几里得的名著《几何原本》第九篇的命题20中。欧几里得采用了反证法。假设总共有k个素数，从小到大依次为p1，p2，…，pk，考察P = p1p^2…p^k +1，显然p^大于pk^，因此p^必定是合数。假设p^是p^的任何素因子，则p必定是p1，p2，…，pk中的一个，因此p必定能被1整除，矛盾。这就证明了质数有无穷多个。
质数无限性的另一个证明是由欧拉给出的。同样采用反证法，先假设总共有k个素数，从小到大依次为p1（=2），p2（=3），…，p(^)k，其中k为某个正整数。考察乘积显然N是一个有限的正数。利用等比数列求和公式，根据算术基本定理，每个大于1的整数n都可以写成p1，p(^2)，…，p(^)k的某些幂的乘积，因此将上述第一个式子展开后，可得但欧拉已经知道，上式右端的正整数倒数之和是无穷大，这就出现矛盾。因此，就证明了质数有无穷多个。
如果质数只有有限个，那么数论中的许多难题就不算难题了（甚至哥德巴赫猜想将不复存在）。但这样一来，数论的魅力和研究价值也大大减弱了。欧拉的证明虽然比欧几里得的稍显复杂，但它启发了德国数学家黎曼用ζ函数来研究质数分布。
证明了质数有无穷多个之后，我们可以问一个更深刻的问题：在数轴上取一个大数x，不超过x的质数有多少个？在18世纪末，高斯和莱昂哈德猜测，不超过x的质数个数大约是x/lnx，而且x越大，这个近似值越准确。高斯的猜想给出了当x增大时不超过x的质数个数的增加速度。
为了证明这个猜想，黎曼提出了并发展了ζ函数理论。黎曼的这项工作显然受到了欧几里得关于质数无限性证明的启发。沿着黎曼指明的方向，在高斯的猜想提出100多年后的1896年，法国数学家阿达马和比利时数学家普森分别给出了证明，从此，这个猜想被称为质数定理。
在发展ζ函数理论的过程中，黎曼提出了著名的黎曼猜想，这个猜想至今也没有得到证明。黎曼猜想与质数分布密切相关，其等价形式之一是：质数定理具有最佳可能的误差项。