a×b是否一定等於b×a？
在社會生產實踐和科學研究中，常常要處理一些有關聯性的數據，比如實驗數據、統計數據、財務數據等。為了清楚展示這些數據，通常人們會製作成表格，可將其抽象為矩陣形式：將n×m個數排成n行m列的矩形陣列，稱為n×m矩陣，用括號括起，每個數是矩陣的元素，如某商業連鎖公司各門店銷量可對應2×3矩陣。
19世紀中葉，英國數學家凱萊系統建立了矩陣理論，規定了矩陣的算術運算。矩陣加法較簡單，兩個行數和列數相同的矩陣，和為對應位置元素相加所得的矩陣。矩陣乘法規定則不同：兩個矩陣相乘，要求前一矩陣的列數和後一矩陣的行數相等，其積的第i行、第j列元素等於前一矩陣第i行和後一矩陣第j列對應位置元素相乘再求和所得的數。
一些初學矩陣的人不太理解矩陣乘法，為什麼其規定如此古怪，而非像加法一樣對應位置元素相乘呢？其實，這樣定義矩陣乘法更符合實際需要。以上述商業公司的數據為例，多個門店、多個商品的營運額和利潤計算，可通過矩陣乘法對應各表間關係，這是實際計算的需要;更重要的是數學中線性變換的需要，變量間的關係代入後，係數矩陣滿足乘法關係，說明該定義是十分自然的。
矩陣乘法還有一個比較奇怪的性質。眾所周知，兩個數a與b相乘，總有a×b=b×a，即乘法交換律。但對於矩陣乘法，若以a、b表示兩個矩陣，通常a×b與b×a並不相等，計算結果與相乘的兩個矩陣的前後次序有關，這與常見乘法運算大相逕庭。
人們對熟知的乘法交換律已習以為常，對矩陣乘法不可交換的性質曾心存疑惑，然而這種不可交換的矩陣乘法，在量子力學創建中找到了用武之地。1925年夏，24歲的德國物理學家海森伯構建了一套全新的量子理論，其所用乘法結果取決於相乘次序，他將論文交給導師玻恩，玻恩想起了矩陣乘法，海森伯用到的乘法正是矩陣乘法，當時多數物理學家不熟悉，後來該理論被稱為矩陣力學，是量子力學的重要組成部分。海森伯因在創建量子力學理論中的重要貢獻，於1932年獲得了諾貝爾物理學獎。