為什麼規定a^0=1

在數學中常會遇到幾個相同的數相乘，為此引入了乘方運算，並用符號aⁿ來表示，如7^5 =7×7×7×7×7。aⁿ中的n稱為指數，指同一數連乘的次數。按照乘方的定義，a^0（a≠0）等於什麼呢？如果把這一式子理解為a自乘0次的結果，那麼這個結果是多少？不必奇怪，我們無法確定出答案，因為乘方的定義中，指數是正整數。因此，當我們把指數由正整數推廣至0時，就無法套用原有的定義。但奇妙的是，可以藉助於乘方的最初定義給出a^0的恰當結果。讓我們回到正整數次冪，看看乘方具有的運算性質。

從一個簡單的例子出發：7^5 ×7^3 =（7×7×7×7×7）×（7×7×7）=7^8。對此，有更簡單的算法：7^5 ×7^3 =7^(5+3)=7^8。一般地，我們有a^m ·a^n =a^(m+n)。類似地，由於0不能做除數，我們還要求a≠0。從乘方的運算法則中我們看到了計算a^0的方法。事實上，取相同的指數，我們有：a^m ÷a^m =1，因此就得到a^0 =1（a≠0）。

在上述定義的基礎上，我們還可以把指數推廣至負整數。因為a^(-n) ·a^n =a^0=1，因此有a^(-n)=1/a^n。再進一步，可以將乘方中的指數推廣到分數指數。這只需要承認一個前提，當指數是分數時，乘方的運算法則仍然成立。於是有a^(1/2)，這個式子意味著兩個a^(1/2)相乘等於a，即平方後等於a，沒錯，就是√a。按照同樣的思路，就可以給出指數為一般分數時的定義。如果學習了極限，還可以把指數推廣到任意實數。不過分數指數和無理數指數對a往往有較多限制。