集合論的創始者、德國數學家康托爾關於無限集合的理論可以說震撼了當時的數學界。在其理論初期，他必然會遭遇巨大的阻力，甚至遭到公開反對。但也有許多數學家對這一理論给予了大力支持，其中就包括 20 世紀的伟大數學家希爾伯特。据說，希爾伯特為了說明無限的属性，曾在一次演講中讲述了下述故事。
我們假設有一家旅館，里面有有限的客房，且已全部住满。此時，一位新客人來到旅館要求開一間房子。旅館老板說："對不起，所有客房都已住满了。"再假設一家有無限多間客房的旅館，同样所有客房都已住满。此時也來了一位新客人要開一間房子。"但……嗯，没问题！"旅館老板想了想說。接下來，他把住在 1 號房子的客人搬到 2 號房子，住在 2 號房子的客人搬到 3 號房子，住在 3 號房子的客人搬到 4 號房子，…，这样，新來的客人就住進了已腾空的 1 號房間。
还是這家旅館，并且所有客房都已住满。此時來了無限多位新客人要求開房子。凭借上次經驗，旅館老板爽快地說："好的，先生们，请等一下。"接下來，他把住在 1 號房子的客人搬到 2 號房子，住在 2 號房子的客人搬到 4 號房子，住在 3 號房子的客人搬到 6 號房子，如此等等。这样，原来的客人都住進了偶數編號的房間，新來的無限多位客人就可以直接住進已腾空的奇數編號的房間了。就這樣，无限多位新客人都满意地住了進去。
關於這個故事就轉述到這里，后来這家旅館就被稱為希爾伯特旅館。希爾伯特讲述這個故事是为了讓人們更形象地理解 “無限集合” 的概念，旅館老板之所以每次都能解决客满状态下新客人的住宿问题，是因为他每次都建立了一個無限集合到另一個無限集合的一一对应關係。