為什麼分數相加要先通分

在分數乘法運算中，兩分數相乘等於分子、分母分別相乘。但在加法運算中，卻不能將分子、分母分別相加，而是首先要通分化為同一個分母，然後分母不變、分子相加。這是為什麼呢？要回答這一問題，首先要明確分數及其加法的意義。

一個（正）分數是一個數，代表的是把一個整體對象平均分成若干份（這個份數叫作分母），從中提取若干份（這個份數叫作分子）所占這個整體的比例。比如，把一個西瓜平均分成5份，拿出其中的3份，所占整體的比例就是3/5。有時候，拿出的份數（分子）超出一個整體平均分出的份數（分母），其含義為拿出的量超過了一個整體，其數值就大於1，這就是假分數。

同一個比例數，用分數可以有多種不同的表示方法，比如，把一個西瓜平均分成5份拿出其中的3份，跟把這個西瓜平均分成10份拿出其中的6份是一樣的，也就是說，一個分數其實有一個“家族”，那裡有無窮多個成員，任何一個都可以代表它。

那麼兩個分數相加又是什麼意思呢？由於每個分數表示取出的部分占整體的比例，兩個分數表示在整體中取出了兩個部分，這兩個部分合在一起所占整體的比例就是這兩個分數之和。

比如計算3/8 + 4/8，相當於把兩個同樣大小的西瓜分別平均分成8份，從其中一個西瓜中取出3份，從另一個西瓜中取出4份，要求取出的總量（兩者之和）占一個西瓜的比例。由於取出的總量相當於從一個西瓜中取出7（3+4）份，因此其和為7/8，這就是同分母分數相加，分母不變，分子相加。

如果要計算1/2 + 3/8，這時就不能對兩個分數簡單相加。這相當於第二個西瓜只平均分成2份，從中取出1份，但這跟剛才分成8份取出4份從比例上來看是相同的，因此可以轉換為第二個西瓜也分成8份取出4份的情形。這就是異分母的分數相加，必須把它們轉化為同樣分法的情況，也就是同分母的情況。換句話說，在兩個異分母分數相加時，我們必須從兩個分數“家族”中各選取分母相同的那兩個成員來參與運算，這個過程叫作通分，比如計算1/2 + 3/8，要在1/2的家族和3/8的家族中分別選取分母相同的兩個成員4/8和3/8來參加運算，得到的結果為7/8。