引入虚数单位 i = -1 後，數學家越來越多地使用複數來解決數學問題。然而，起初數學家並不承認複數是真实的數量，認為它是虚構的，是想像出來的數量。大數學家欧拉对複數的研究做出了重大貢獻，虚数的名稱和虚数单位符号 i 都是由他引入的，他還提出了著名的欧拉公式 e^iθ = cosθ + i sinθ。但欧拉同样不承认複數的真实性。他說："所有形如 a + bi 的數，都是不可能的，因為它表示負數的平方根。对于這種數，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。它们纯属虚构。" 這種情况持續了近200年，直到19世紀高斯時代才得以結束。
我们知道，实数都可以用数轴上的一个点来表示，那么，如何表示虚数 i 呢？当时，欧洲的几位数学家如维塞尔、阿尔冈和高斯等人注意到，一个数乘以-1等于它的相反数，在数轴上就是绕原点O转了180°，如果再乘以-1则相当于再转180°回到原来的位置。现在 i^2 = -1，这表明一个数连乘两次 i 就相当于绕原点转180°，这样，乘一次 i 就应该是（逆时针）转了90°。因此可以想象，所有纯虚数都应该在一条过原点且垂直于实数轴的直线上，这就是虚轴。将原来的实数轴称为实轴，实轴和虚轴就构成了一个平面直角坐标系，而复数 a + bi 就代表此直角坐标平面上的一个点（a，b）。用复数表示的平面称为复平面。
这种方法使得复数及其加减乘除运算都具有明显的几何意义。从此，复数有了实际的模型，人们对它也便有了真实感。原本虚无缥缈的复数，变成了实实在在的东西。高斯等人的这一模型，不仅為复数带来了真实感，消除了人们的疑惑，而且把复数和平面几何、向量运算联系在一起，使得許多平面上的數學、物理問題得以應用复数的工具。到了19世紀，在此基礎上發展起來一門學科 —— 複變函數論，它是微積分在複變數函數上的延伸。複變函數在流体力学和弹性力学中都有重要應用，比如翼型的設計會用到複變函數中的共形映射。更令人驚讶的是，複變函數還被用来研究素數分布，并發展成現代數學的一個重要分支 —— 解析數論。在當代數學中，无论是纯數學還是應用數學，都離不開複數。過去的人无论如何也没有想到，这种“纯属虚构”的數，如今竟是如此神通广大。