大家都知道，形如 a + b i 的數稱為複數，其中 a 和 b 是実數，而 i 代表複數和我们通常所認識的実數有很大的不同，似乎在我们的現實世界中也遇不到這樣的數。為什麼我們非要引入這樣的數不可呢？中學數學課本已經告訴我們，当我們解一個二次方程 ax 2 + bx + c = 0 時，如果 Δ = b 2 - 4ac < 0，那么方程有一對共轭複數根。確實，引入複數使得 Δ < 0 時也有根了，但這時方程在実數範圍內沒有根可能更符合实际，人為地引入看不見摸不着的複數根似乎也没有必要。
歷史上，複數是在 16 世紀由意大利數學家卡爾達諾引入的。他引入複數的主要目的是为了解三次代數方程。為此，我們先看一個例子，考慮三次方程 x 3 - 7x + 6 = 0。容易验证，上述方程有 3 個実根：x = 1，x = 2 和 x = -3。由于三次方程至多有 3 個不同的根，所以上述 3 個根就是該方程的全部根。卡爾達诺當時已經知道形如 x 3 + px + q = 0 的三次方程的求根公式是 現在，對方程 x 3 - 7x + 6 = 0 應用上述求根公式，这時 p = -7，q = 6，这样，在上面的公式中，就必須處理像這樣的數，才能最終得到 3 個実根。卡爾達诺注意到，当 Δ < 0 時，为了求得三次方程的根（哪怕是実根），人们也无法避开负数开方的运算，而不得不处理由负数开方所产生的新的数，比如像前面那樣，卡爾達诺把一類新的數引入了數學。这就是我們現在所稱為複數的數。當時的人把這種數統一寫成的形式，其中 a 和 b 是実數。後來，欧拉建議用 i 代替，因此就有了今天的複數表示：a + b i。
複數被引入數學之後，不但從此“一去不復返”，還越來越多地應用到其他領域。複數不但用于解三次或四次方程，还用于三角函數的计算。著名的棣莫佛公式就是一例。在其中取 n = 2 和 n = 3 就可以得到三角函數的倍角公式和三倍角公式，并且由此還可以得到 n 倍角公式。許多実數域中的問題，可以通過複數域簡單或巧妙地解決。对此，法國數學家阿達馬有一個很恰當的評價：在實數域中兩個真理之間的最短路径是通過複數域。