自然对数的底数 e = 2.718281828… 是数学中一個重要的常數。為何要引入這個常數呢？它有哪些重要應用呢？让我们一一道來。
首先來考虑理想情况下的复利問題：假設有一家銀行，其年利率為1。客户在年初存入1元本金，那么年終本金和利息總和為1 + 1 = 2元。如果這家銀行對更短期的存款也采用相同的利率，即根據存款期限在一年中所占比例打折计算利率，比如半年利率為1/2，三個月利率為1/4，一个月利率為1/12等。現在客户有了更好的存款策略：如果把1元存半年，在到期后立即续存本金和利息。这样，年終本金和利息總和為 同理，如果存期為3個月，到期后立即续存本金和利息，年終本金和利息總和應為 若存期為1個月，那么年終本金和利息總和應為 从这里可以看出，存款期限越短，按上面的復利計算，年終獲得的本金和利息總和越大。假設這家銀行允許任意短的存款期限，比如存期可以是1天、1小時或1分鐘，甚至更短，那么1年後存入1元的本金和利息總和可以大到怎样的程度呢？存款人會因此成為巨富吗？
1697年，瑞士數學家雅各布・伯努利考虑了這個問題。把一年分成n等分，以年為存期進行復利計算，那么一年後的本金和利息總和為 雅各布・伯努利证明了，當n越來越大以至于趋于無穷時，上述本金和利息總和會越來越大，但不会无限增大，而是越來越接近一個固定的數值，这个值在2和3之間。現在知道這個值等于2.718281828…。从数学极限的术语来看：当n趋于无穷时，序列的极限存在。这告诉人们，无论客户如何缩短存款期限，年终本金和利息总和都不会超过这个数列的极限值2.718281828…。如果每时每刻都按复利计算，年終本金和利息总和就是这个极限值。不过，这里的“利率”x可以是正数也可以是负数，是任意非零实数。
上述銀行自然是一個虚构的數學模型，但確實有很多实际的自然現象符合這個模型。只要一個量每時每刻都按照這個量的一个固定比例增加（或減少），那么這個量的變化就符合上面的指数增长（或減少）規律。比如，放射性物质的质量随时间衰变，声波或光波的强度随传播距离衰减，人類對各種刺激的反應和刺激強度之間的關係等，，都符合上面的指数率。馬爾萨斯關於人口指数增長的結論也是基於同樣的數學模型得出的。
欧拉還证明了指数函數e^x的瞬時变化率（即导数）就是它本身。例如，如果一個運動物體在t时刻的速度是e^t，那么在t时刻的加速度也是e^t。函數e^x的這個独特性質，使得e^x在微積分計算、解決微分方程等應用中扮演着特殊的角色，从而在各種理論推導和工程計算中发挥着重要作用。
無論是在數學運算還是在日常生活中，數字 e 及 e^x 都經常出現。随著科技進步和數學發展，數字 e 的應用範圍越來越广泛。在數學的各個領域，都能看到數字 e 的身影。其中一個重要原因是以 e 为底數的指数函數所具有的独特特性。