En la escuela, aprendimos a resolver ecuaciones, y una de las más frecuentes fue la llamada ecuación algebraica, como 3x -1 = 0 o x 2 -2x -8 = 0. Una de las principales características de estas ecuaciones es que cada término que contiene una incógnita solo incluye potencias enteras de la misma. Además, estas ecuaciones tienen otras dos características importantes: el número de términos es limitado y los coeficientes de las incógnitas son números enteros. Ahora, vamos a responder a la siguiente pregunta: ¿Todos los números reales son raíces de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros? Para mayor comodidad, simplificaremos las ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros como ecuaciones algebraicas. En primer lugar, es evidente que todos los números racionales q = m / n son raíces de la ecuación algebraica nx m = 0, donde m y n son números enteros (n ≠ 0). En segundo lugar, cualquiera que haya estudiado la ecuación cuadrática de primer grado sabe que las raíces de las ecuaciones algebraicas no tienen por qué ser racionales. Por ejemplo, las dos raíces de x 2 -2 = 0 son irracionales. Por lo tanto, las raíces de las ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros pueden ser tanto racionales como irracionales, lo que, al menos aparentemente, tiene el potencial de representar todos los números reales.
Pero el potencial no equivale a la certeza, y esto requiere una prueba. El primero en responder negativamente a la pregunta «¿Son todos los números reales raíces de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros?» y proporcionar una prueba fue el matemático francés Liouville, quien no solo demostró que ciertos números reales no son raíces de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros, sino que también construyó números reales que no lo eran, dando así la respuesta negativa de la manera más convincente. Los primeros números reales no algebraicos que construyó Liouville fueron expresados mediante fracciones continuas, y más tarde también construyó estos números utilizando números decimales. En honor a la contribución de Liouville, los números que construyó se denominan números de Liouville.
Ahora sabemos que muchos números reales importantes, como la base del logaritmo natural e, la constante de Pi, etc., no son raíces de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros. Para facilitar la expresión, los matemáticos denominan números que pueden expresarse como raíces de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros como números algebraicos, y a los que no pueden expresarse como tales como números trascendentes. Los números reales incluyen tanto números algebraicos como trascendentes. Los números racionales y π son ejemplos de números algebraicos; e y π son ejemplos de números trascendentes. Nuestra pregunta, utilizando esta nueva terminología, puede reformularse como: ¿Son todos los números reales números algebraicos? La respuesta, como se mencionó anteriormente, es negativa.
Sin embargo, aunque la respuesta ya está revelada, probar que un número específico es trascendente suele ser una tarea difícil. Por ejemplo, para demostrar que dos de las constantes más importantes, e y π, son trascendentes, los matemáticos han dedicado mucho esfuerzo. La trascendencia de e fue demostrada por el matemático francés Hermite en 1873. Determinar si π es trascendente fue aún más difícil, y no fue hasta 1882 que el matemático alemán Lindemann demostró que π también es trascendente. Y si combinaciones simples como e + π y e - π son trascendentes, esto sigue siendo un misterio hasta el día de hoy.
A continuación, podemos hacer otra pregunta: ¿Hay más números algebraicos o trascendentes? Teniendo en cuenta lo difícil que es construir y probar la trascendencia de los números trascendentes, muchos lectores pueden suponer que solo hay un pequeño número de números trascendentes. Sin embargo, lo contrario es cierto. En 1874, el matemático alemán Cantor demostró que los números trascendentes son mucho más numerosos que los algebraicos (aquí se trata de comparar el número de elementos de conjuntos infinitos). De hecho, demostró que casi todos los números reales son trascendentes, lo que, en otras palabras, significa que si elegimos un número aleatoriamente entre los números reales, la probabilidad de que sea un número algebraico es 0!
La existencia de números trascendentes no solo tiene una importancia clasificatoria abstracta, sino que también puede resolver algunos problemas matemáticos concretos. Por ejemplo, se ha demostrado que la longitud de los segmentos que se pueden construir con una regla y un compás geométricos solo puede ser un número algebraico (suponiendo una unidad de longitud dada). Por lo tanto, π es trascendente, un resultado que, aparentemente, solo tiene una importancia clasificatoria abstracta.
接下来我们要回答这样一个问题：实数中是算术数多还是超越数多？从超越数的构造和证明如此困难来看，也许很多读者会猜测只有很少的数是超越数。事实恰恰相反。1874年，德国数学家康托尔证明了超越数远比算术数多（这里涉及的是无穷集合元素数目的比较）。事实上，他证明了几乎所有的实数都是超越数——换句话说，如果从实数中随机地挑选一个出来，它是算术数的概率为0！
超越数的存在不仅具有抽象的分类意义，还可以解决一些具体的数学问题。例如，几何中尺规作图方法所能作出的线段长度，已被证明只能是算术数（假设单位长度）。因此，π是超越数这一看似只有抽象分类意义的结果，直接证明了Uno de los «Tres problemas de la geometría», que han desconcertado a los matemáticos durante más de 2300 años, es la «cuadratura del círculo», que es imposible de lograr.