Para la mayoría de las personas, «el todo es más que la suma de las partes» es un hecho indiscutible y evidente. El matemático griego Euclides también lo incluyó como un axioma en sus «Elementos». Ahora, si alguien te dijera que es posible que el todo y sus partes tengan la misma cantidad, ¿te sorprenderías?
Para explicar este problema, primero consideremos qué significa decir que dos cosas tienen la misma cantidad. Supongamos que vemos un teatro lleno sin nadie de pie y, sin contar los asientos ni las personas, sabemos que tienen la misma cantidad. Esto se debe a que se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los asientos y las personas. En términos abstractos: si se puede establecer una correspondencia uno a uno entre dos conjuntos, entonces el número de elementos de ambos es igual. Obviamente, un conjunto finito no puede establecer una correspondencia uno a uno con una parte de sí mismo. Pero, ¿qué sucede con los conjuntos infinitos?
En 1638, el físico italiano Galileo registró en su libro el siguiente hecho sorprendente: esto demuestra que cada entero positivo tiene una correspondencia uno a uno con su cuadrado, por lo que los cuadrados tienen la misma cantidad que los enteros positivos. Pero los cuadrados solo son una parte de los enteros positivos, por lo que los enteros positivos pueden tener la misma cantidad que sus partes. El descubrimiento de Galileo no llamó la atención en su momento. Doscientos años más tarde, un matemático checo llamado Bolzano volvió a señalar el mismo hecho, de manera más general: un conjunto infinito puede establecer una correspondencia uno a uno con su subconjunto. Pero esto tampoco atrajo mucha atención. No fue hasta 1872 que el matemático alemán Cantor comenzó un estudio en profundidad de los conjuntos infinitos. Cantor estaba convencido de que la capacidad de un conjunto para tener el mismo tamaño que su subconjunto era una característica esencial de los conjuntos infinitos. Además, descubrió que ocurrían muchas cosas inesperadas con los conjuntos infinitos.