¿Todas las ecuaciones algebraicas de un solo término tienen fórmulas de solución? Las ecuaciones como 2x -6=0, x 2 -3x +2=0, x 3 -5x -12=0… se denominan ecuaciones algebraicas de un solo término. Según el grado del término más alto, se las denomina ecuaciones de primer grado, de segundo grado, de tercer grado, etc. Para las ecuaciones de primer grado, la solución es extremadamente simple. En cuanto a las ecuaciones algebraicas de segundo grado, muchas civilizaciones antiguas también lograron encontrar resultados correctos a través de la exploración. De hecho, para la ecuación general de segundo grado ax 2 +bx +c =0 (a ≠ 0), tenemos la siguiente fórmula de solución: En la fórmula, la solución de la ecuación se expresa mediante las operaciones de suma, resta, multiplicación y raíz de los coeficientes de la ecuación. Por lo tanto, la solución obtenida por esta fórmula se denomina solución radical de la ecuación.
Los matemáticos europeos dominaron el método de resolución de ecuaciones de segundo grado en el siglo XII. Luego, comenzaron a explorar la solución radical de ecuaciones de tercer grado. Después de varios siglos, los esfuerzos de muchas personas fracasaron. En 1494, algunos matemáticos incluso hicieron una predicción pesimista: resolver una ecuación de tercer grado era tan imposible como cuadrar el círculo. Sin embargo, alrededor del año 1500, el matemático italiano Ferrero logró el primer éxito en la solución de ecuaciones de tercer grado con coeficientes desconocidos. Pero no publicó sus resultados y, hasta su muerte, solo transmitió su solución a sus estudiantes, como Fior. Poco después, otro matemático italiano, Tartaglia, afirmó haber encontrado un método para resolver ecuaciones de tercer grado. En 1535, se llevó a cabo una competencia pública entre Fior y Tartaglia. Acordaron resolver 30 problemas de ecuaciones de tercer grado cada uno y el ganador sería el que resolviera más problemas. Al principio, Tartaglia solo dominaba la solución de ecuaciones de tercer grado sin términos de primer grado, como x 3 +mx 2 =n. Para ganar la competencia, después de días de reflexión, finalmente encontró soluciones para múltiples tipos de ecuaciones de tercer grado la víspera de la competencia. El resultado de la competencia fue una victoria brillante para Tartaglia.
Poco después de la competencia, otro matemático, Cardano (también conocido como Cardan), oyó hablar del asunto. A partir de entonces, consultó a Tartaglia en varias ocasiones sobre la solución de ecuaciones de tercer grado y, finalmente, después de jurar nunca revelar el secreto, Tartaglia le reveló su solución. A continuación, Cardano, tras un estudio exhaustivo, finalmente obtuvo soluciones y demostraciones para todo tipo de ecuaciones de tercer grado. En 1545, Cardano publicó su obra matemática más importante, el «Ars Magna», haciendo públicos sus descubrimientos, que también incluían un descubrimiento importante de su alumno Ferrari: la solución general de ecuaciones de cuarto grado. La falta de confianza de Cardano enfureció a Tartaglia, y una disputa fue inevitable. El 10 de agosto de 1548, en un debate público en Milán, la disputa alcanzó su punto álgido. En esta competencia pública pero injusta con Ferrari, Tartaglia fracasó. Hasta el momento, la fórmula de solución de ecuaciones de tercer grado todavía se conoce como la fórmula de Cardano.
Sin embargo, las matemáticas nunca se detienen. La solución de un problema a menudo significa el nacimiento de un nuevo problema. Después del «Ars Magna», las personas se lanzaron inmediatamente a la siguiente competencia: encontrar una fórmula de raíz para ecuaciones de quinto grado. Nadie dudaba de que, con suficiente talento, las ecuaciones de quinto grado de un solo término también podrían resolverse. Pero un siglo pasó, y otro siglo pasó, sin que nadie tuviera éxito.
A finales de 1823, se produjo un verdadero avance. El matemático noruego Abel, de tan solo 21 años, demostró que las ecuaciones algebraicas de quinto grado de un solo término no tienen solución radical. Esta fue la razón por la que, durante más de dos siglos, las personas habían buscado en vano este «Santo Grial». AbelCopió varias versiones de sus investigaciones. Con el fin de ahorrar en gastos de impresión, resumió el núcleo de sus ideas en solo seis páginas. Las pruebas demasiado simplificadas hicieron que su trabajo fuera difícil de entender, por lo que no logró impresionar a la comunidad matemática en ese momento. Abel, atormentado por la pobreza y la enfermedad durante toda su vida, falleció el 6 de abril de 1829 a la edad de menos de 27 años.
Poco después de su muerte, sus pruebas comenzaron a ser aceptadas, pero aún quedaban nuevos desafíos por resolver. ¿Qué ecuaciones se pueden resolver mediante radicales y cuáles no? ¿Existe un método de discriminación adecuado? Abel no pudo resolver este problema antes de su muerte prematura, por lo que quedó en manos de Galois, uno de los matemáticos más legendarios y trágicos de toda la historia de las matemáticas.
A los 17 años, Galois ya había logrado avances en esta área y, durante los siguientes años, presentó varios trabajos de investigación. Sin embargo, sus artículos fueron rechazados, se perdieron o no fueron comprendidos, y Galois, que no logró ser reconocido por la comunidad matemática, se sintió cada vez más frustrado. Luego, una serie de desgracias personales se sucedieron. Bajo un gran impacto, su pasión se volcó hacia la política, lo que resultó en dos encarcelamientos. En 1832, se involucró en un duelo sin sentido. La noche antes del duelo, trabajó toda la noche y presentó un resumen de sus investigaciones. El 30 de mayo de 1832, Galois cayó durante el duelo y falleció al día siguiente, a la edad de 21 años. Más de 10 años después, sus artículos fueron editados y publicados, y su genio fue reconocido.
La belleza de las ideas de Galois radica en que no solo demostró que las ecuaciones algebraicas monomiales generales de quinto grado (y superiores) no se pueden resolver mediante radicales, sino que también explicó por qué las ecuaciones monomiales generales de segundo, tercer y cuarto grado sí se pueden resolver. Su investigación también proporcionó un criterio claro para determinar si una ecuación algebraica tiene o no una solución radical, lo que puso fin a un enigma de 300 años sobre la resolubilidad radical de las ecuaciones algebraicas. El significado trascendental del trabajo de Galois radica en que, al resolver este problema, introdujo las ideas de la teoría de grupos y abrió una nueva era en la investigación matemática.