¿Hay un número finito o infinito de números primos? Esta es una pregunta muy básica. De hecho, hay un número infinito de números primos, pero esto no es algo obvio. La primera demostración de la infinitud de los números primos apareció en la famosa obra de Euclides, «Los Elementos», en el teorema 20 de su noveno libro. Euclides utilizó el método de la contradicción. Supongamos que solo hay k números primos, ordenados de menor a mayor: p1, p2, ..., pk. Examinemos P = p1p2...pk + 1. Obviamente, pk > pk-1, por lo que pk debe ser un número compuesto. Supongamos que pk es un factor primo de pk, entonces p debe ser uno de p1, p2, ..., pk, lo que implica que p divide 1. Esto es una contradicción. Por lo tanto, se demuestra que hay un número infinito de números primos.
Otra demostración de la infinitud de los números primos fue proporcionada por Euler. Utilizando también el método de la contradicción, supongamos que solo hay k números primos, ordenados de menor a mayor: p1 (= 2), p2 (= 3), ..., pk, donde k es un número entero positivo. Examinemos el producto, que obviamente es un número entero finito. Utilizando la fórmula de la suma de una progresión geométrica y el teorema fundamental de la aritmética, cada número entero mayor que 1 se puede escribir como el producto de algunas potencias de p1, p2, ..., pk. Por lo tanto, al eliminar todos los paréntesis de la primera ecuación, obtenemos sin embargo, Euler ya sabía que la suma de los inversos de los números enteros de la derecha de la ecuación anterior es infinita, lo que es una contradicción. Por lo tanto, se demuestra que hay un número infinito de números primos.
Si los números primos fueran solo un número finito, muchos problemas de la teoría de números no serían tan difíciles (incluso el problema de Goldbach dejaría de existir). Pero, de esta manera, el encanto y el valor de investigación de la teoría de números se reducirían considerablemente. Aunque la demostración de Euler era un poco más compleja que la de Euclides, inspiró al matemático alemán Riemann a estudiar la distribución de los números primos utilizando la función ζ.
Después de demostrar que hay un número infinito de números primos, podemos hacer una pregunta más profunda: ¿cuántos números primos hay en el eje de los números reales que no superan un número x? A finales del siglo XVIII, Gauss y Legendre conjeturaron que el número de números primos que no superan x es aproximadamente x/lnx, y cuanto más grande es x, más precisa es esta aproximación. La conjetura de Gauss proporcionó la velocidad de aumento del número de números primos que no superan x a medida que x aumenta.
Para demostrar esta conjetura, Riemann propuso y desarrolló la teoría de la función ζ. El trabajo de Riemann estaba claramente inspirado en la demostración de Euclides de la infinitud de los números primos. Siguiendo la dirección indicada por Riemann, en 1896, más de 100 años después de la conjetura de Gauss, los matemáticos franceses Hadamard y el belga Deligne dieron una demostración, y desde entonces, esta conjetura se conoce como el teorema de los números primos.
Durante el desarrollo de la teoría de la función ζ, Riemann propuso la famosa conjetura de Riemann, que hasta el momento no ha sido demostrada. La conjetura de Riemann está estrechamente relacionada con la distribución de los números primos, y una de sus formas equivalentes es que el teorema de los números primos tiene el mejor error posible.