El matemático alemán Cantor, fundador de la teoría de conjuntos, desarrolló una teoría de conjuntos infinitos que, por decir lo menos, sorprendió al mundo. Al principio, enfrentó grandes obstáculos e, incluso, sufrió rechazo público. Sin embargo, muchos matemáticos apoyaron esta teoría, entre ellos el gran matemático del siglo XX, Hilbert. Según se cuenta, Hilbert utilizó el siguiente ejemplo en una conferencia para ilustrar las propiedades del infinito.
Supongamos que hay un hotel con un número finito de habitaciones, todas ocupadas. Llega un nuevo huésped que quiere una habitación. El dueño del hotel dice: «Lo siento, todas las habitaciones están ocupadas». Supongamos ahora que hay un hotel con un número infinito de habitaciones, también todas ocupadas. Llega un nuevo huésped que quiere una habitación. «¡Pero… bueno, no hay problema!», dice el dueño del hotel después de pensarlo un poco. A continuación, traslada al huésped del cuarto 1 al cuarto 2, al del cuarto 2 al cuarto 3, al del cuarto 3 al cuarto 4, etc., de modo que el nuevo huésped se instala en el cuarto 1, que queda libre.
Sigue siendo el mismo hotel, con todas las habitaciones ocupadas. Llegan infinitos nuevos huéspedes que quieren una habitación. Con base en la experiencia anterior, el dueño del hotel dice con prontitud: «Está bien, caballeros, esperen un momento». A continuación, traslada al huésped del cuarto 1 al cuarto 2, al del cuarto 2 al cuarto 4, al del cuarto 3 al cuarto 6, etc. De esta forma, todos los huéspedes anteriores se instalan en las habitaciones pares, y los infinitos nuevos huéspedes pueden ocupar directamente las habitaciones impares que quedan libres. Así, los infinitos nuevos huéspedes se alojan satisfactoriamente.
Este es el final de la historia. Más tarde, este hotel se conoció como el Hotel de Hilbert. Hilbert contó esta historia para que la gente entendiera mejor el concepto de «conjuntos infinitos». El dueño del hotel siempre podía resolver el problema de alojar a los nuevos huéspedes en una situación de plena ocupación porque, en cada ocasión, establecía una correspondencia uno a uno entre un conjunto infinito y otro conjunto infinito.