En la Europa medieval, los italianos consideraban el 6 como un número perteneciente a la diosa del amor Venus, y lo veían como un símbolo de matrimonio feliz. Además, el 6 también se conocía como un número perfecto. De hecho, cuando se introdujo en China, el número perfecto tenía otro nombre, llamado «número armónico». Si la suma de todos los factores de un número natural (sin contar el propio número) es igual a ese número, entonces ese número se llama número perfecto. Como se puede observar, el 6 tiene tres factores: 1, 2 y 3, y 1 + 2 + 3 = 6, por lo que el 6 es un número perfecto y el más pequeño de la familia de los números perfectos. El 28 tiene cinco factores distintos de sí mismo: 1, 2, 4, 7 y 14, y 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Todos los números perfectos descubiertos hasta el momento son pares, ni siquiera hay un número impar perfecto. A pesar de esto, aún no se ha demostrado que no existan números impares perfectos, lo que convierte este problema en otro enigma sin resolver en la teoría de los números.
Ya en el año 500 a.C., Pitágoras había estudiado los números perfectos. Más tarde, Euclides, en el capítulo IX de los Elementos, afirmó que si 2^n - 1 es un número primo, entonces 2^(n-1)(2^n - 1) es un número perfecto. En el siglo XVII, el monje francés Marin Mersenne realizó numerosos cálculos sobre 2^n - 1 y formuló algunas afirmaciones (algunas erróneas), y en memoria de su trabajo, los números de la forma 2^n - 1 se conocen como números de Mersenne y se notan como Mn.
Se puede demostrar fácilmente que, cuando el número de Mersenne 2^n - 1 es primo, n debe ser primo; y a la inversa, cuando n es primo, el número de Mersenne parece ser primo, por ejemplo: M3 = 7, M5 = 31, M7 = 127. Sin embargo, inesperadamente, cuando apareció el siguiente M11 = 2^11 - 1 = 2047 = 23 × 89, esta regla ya no existía. Debido a las muchas propiedades peculiares y anécdotas interesantes de los números de Mersenne, han atraído a muchos matemáticos durante siglos. Sin embargo, hasta el siglo XVIII, solo se habían descubierto ocho números de Mersenne, a saber, M2, M3, M5, M7, M13, M17, M19 y M31. Entre estos, el último M31, que fue demostrado por el matemático Euler como primo cuando estaba ciego, fue el número primo más grande conocido en el mundo en ese momento. Euler también demostró el teorema inverso del teorema de Euclides sobre los números perfectos, es decir, que todo número perfecto par tiene la forma 2^(n-1)(2^n - 1), donde 2^n - 1 es primo. Esto convirtió a los números perfectos pares en un «subproducto» de los números de Mersenne. En los siguientes 100 años, solo se descubrieron cuatro nuevos números de Mersenne: M61, M89, M107 y M127. En 1876, el matemático Lucas propuso un importante teorema para determinar si un número Mp es primo, el teorema de Lucas, que proporcionó una poderosa herramienta para la búsqueda de números de Mersenne. En la «era de los cálculos a mano y los registros en papel», la gente luchó arduamente y solo encontró 12 números de Mersenne.
La aparición de las computadoras ha acelerado enormemente la búsqueda de números de Mersenne. En 1952, los matemáticos Robinson y otros compilaron el método de Lucas mejorado por Lamm en 1930 en un programa informático y utilizaron la computadora SWAC para encontrar cinco nuevos números de Mersenne: M521, M607, M1279, M2203 y M2281. En 1963, cuando se encontró el 23° número de Mersenne, M11213, a través de una computadora grande, la BBC interrumpió su programación normal para transmitir esta importante noticia en primer lugar. Todos los profesores y estudiantes del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Illinois, EE. UU., que descubrieron este número primo, se sintieron muy orgullosos y, para que todo el mundo compartiera este logro, estamparon todos los correos enviados desde el departamento con «2^11213 - 1 i».Un sello postal que muestra el número «primo de Mersenne» («2^11213 - 1 es un número primo»). En particular, cabe mencionar que dos estudiantes estadounidenses de secundaria, Nor y Nicol, descubrieron el 25º número primo de Mersenne, M21701, tras tres años de trabajo en la programación de un algoritmo en el ordenador Cyber174, en octubre de 1978. En aquel entonces, los principales medios de comunicación del mundo (incluida la agencia china Xinhua) y las publicaciones académicas informaron ampliamente de esta noticia, y el New York Times la publicó en su portada.
La aparición de la nueva tecnología de rejilla ha facilitado enormemente la búsqueda de números primos de Mersenne. A principios de 1996, el matemático y programador estadounidense Wolfram desarrolló un programa para calcular números primos de Mersenne y lo puso a disposición de matemáticos y aficionados en su página web. Este proyecto, conocido como «GIMPS» (Gran Búsqueda de Números Primos de Internet), utiliza la computación en rejilla para aprovechar el tiempo de inactividad de numerosos ordenadores ordinarios y obtener una potencia de cálculo equivalente a la de los superordenadores. Actualmente, casi 150.000 personas de más de 150 países y regiones participan en este proyecto de colaboración internacional. Gracias a GIMPS, se han descubierto 14 nuevos números primos de Mersenne. El 23 de agosto de 2008, el informático Smith, de la Universidad de California en Los Ángeles, descubrió el número 45º, M43112609; el 6 de septiembre de 2008, el ingeniero electrónico Elvino Nikoll descubrió el número 46º, M37156667; y el 12 de abril de 2009, el noruego Strindmo descubrió el número 47º, M42643801. El 25 de enero de 2013, el equipo de investigación dirigido por el profesor de matemáticas de la Universidad Central de Misuri, Curtis Cooper, descubrió el número más grande conocido hasta el momento, M57885161, que tiene más de 17 millones de dígitos, lo que eleva el número total de números primos de Mersenne conocidos a 48. Con la excepción del primero, todos los números primos de Mersenne terminan en 1 o 7. Curiosamente, la mayoría de los 48 números primos de Mersenne descubiertos terminan en 1.
¿Por qué existe tanto interés en la búsqueda de números primos de Mersenne? Desde la época de los griegos hasta el siglo XVII, la búsqueda de números primos de Mersenne parecía tener como único objetivo los números perfectos. Sin embargo, desde que Mersenne formuló su famosa conjetura, y en particular desde que Euler demostró el teorema inverso del teorema de Euclides sobre los números perfectos pares, los números perfectos se han convertido simplemente en un «subproducto» de los números primos de Mersenne. La búsqueda de números primos de Mersenne es la forma más eficaz de descubrir los números primos más grandes conocidos. Desde que Euler demostró que M31 era el número primo más grande conocido en su momento, los números primos de Mersenne han sido los protagonistas absolutos de la competición mundial para descubrir los números primos más grandes conocidos. Además, la búsqueda de números primos de Mersenne es una potente herramienta para poner a prueba la velocidad de cálculo y otras funciones de los ordenadores. Por ejemplo, el número 34º, M1257787, fue descubierto en septiembre de 1996 por la empresa Cray durante las pruebas de velocidad de cálculo de su último superordenador. El descubrimiento de números primos de Mersenne no solo requiere ordenadores potentes, sino también teorías y métodos de determinación de números primos y cálculo numérico, así como técnicas de programación ingeniosas y sofisticadas, lo que ha impulsado el estudio de la «reina de las matemáticas», la teoría de números, y ha favorecido el desarrollo de las matemáticas y la programación informática.
Los números primos de Mersenne también tienen aplicaciones prácticas. Actualmente, se utilizan números primos grandes en el diseño de criptografía moderna, ya que es muy difícil factorizar un número grande en factores primos, pero es mucho más fácil multiplicar varios números primos. En este tipo de criptografía, es necesario utilizar números primos grandes, ya que cuanto mayor sea el número primo, menor será la probabilidad de que se descifre el código.