En las películas, a menudo vemos un tipo de apuesta en los casinos en la que se apuesta una cierta cantidad por encima o por debajo de un número determinado. Si no se gana, se pierde la cantidad apostada, pero si se gana, se obtiene una cantidad igual a la apostada. Se dice que existe una estrategia «ganadora segura» para este tipo de apuestas, conocida como el método de «apostar el doble».
La estrategia específica del método de apostar el doble es la siguiente: en la primera apuesta, se apuesta una cantidad mínima de a yuanes. Si se pierde, se duplica la apuesta a 2a yuanes. Si se pierde de nuevo, se duplica nuevamente a 4a yuanes, y así sucesivamente, duplicando la apuesta cada vez que se pierde hasta que se gana. Luego, se vuelve a comenzar con la apuesta mínima y se repite el proceso. Supongamos que se pierden n apuestas seguidas antes de ganar. En total, se pierde a + 2a + ... + 2^(n-1)a = (2^n -1)a yuanes, y la siguiente apuesta gana 2^n a yuanes. Por lo tanto, al final de la ronda, siempre se gana a yuanes! Parece que, si se sigue jugando, se puede ganar seguro, lo que parece ser una estrategia perfecta e infalible para ganar.
Pero, ¿es esto realmente así? De hecho, muchas personas que conocen este método de «apostar el doble» van a los casinos a probar suerte. Sin embargo, el resultado es que, en su mayor parte, pierden todo hasta que se les acaba el dinero. Es decir, esta estrategia para ganar no funciona. ¿Por qué? Porque incluso si el jugador siempre gana, solo puede ganar el mínimo de a yuanes, y ganar n veces solo significa na yuanes, lo que supone un aumento geométrico lento. Sin embargo, si se pierde seguidas veces, la cantidad perdida aumenta exponencialmente, a un ritmo increíblemente rápido. Si el capital del jugador es limitado, es posible que pierda todo antes de tener la oportunidad de ganar. Por ejemplo, un jugador con un capital de 10.000 yuanes y una apuesta mínima de 10 yuanes, si pierde 10 veces seguidas, perderá 10.230 yuanes (10.000 × (2^10 -1)). Por lo tanto, incluso si gana un poco al principio (lo cual no es mucho, ya que solo gana a razón de una progresión geométrica), probablemente perderá todo al final.
Quizás el lector piense que, aunque es posible perder seguidas veces, la probabilidad de perder 10 veces seguidas es muy baja. La probabilidad de perder una vez es 1/2, la de perder dos veces es (1/2)^2 = 0.25, y la de perder 10 veces es (1/2)^10≈0.001. Esta probabilidad tan baja hace que sea poco probable que ocurra. Si el jugador solo apuesta 10 veces, la probabilidad de perder todas las 10 apuestas es de aproximadamente 0.001. Sin embargo, si el jugador cree que «apostar el doble» es una garantía de ganar, seguirá jugando, y la probabilidad de perder 10 veces seguidas no es tan baja como se podría pensar. Según los cálculos, si se apuesta unas 1.500 veces, la probabilidad de perder 10 veces seguidas es superior a 1/2, lo que significa que perderá todo su capital de 10.000 yuanes con una probabilidad superior a 1/2. Además, cuantas más apuestas haga, mayor será la probabilidad de perder 10 veces seguidas. Si apuesta 5.000 veces, la probabilidad de perder 10 veces seguidas superará el 90%.
En general, cuanto más tiempo juegue el jugador, mayor será la probabilidad de perder 10, 15 o 20 veces seguidas a medida que aumenta el número de apuestas. Por lo tanto, independientemente del capital del jugador, si este es limitado, al final lo perderá todo.