Nous avons appris à l'école à résoudre des équations, dont les plus courantes sont les équations algébriques, telles que 3x -1 = 0 ou x 2 -2x -8 = 0. L'une des principales caractéristiques de ces équations est que chaque terme contenant une inconnue ne contient que des puissances entières de cette inconnue. De plus, ces équations présentent deux autres caractéristiques importantes : le nombre de termes est limité et les coefficients des termes inconnus sont des entiers. Maintenant, nous allons répondre à la question suivante : tous les nombres réels sont-ils des racines d'équations algébriques à coefficients entiers ? Pour simplifier, nous allons appeler ces équations algébriques des « équations algébriques ». Tout d'abord, il est évident que tous les nombres rationnels q = m / n sont des racines de l'équation algébrique nx m = 0, où m et n sont des entiers (n ≠ 0). Deuxièmement, comme tous ceux qui ont étudié l'équation du second degré le savent, les racines d'une équation algébrique ne sont pas nécessairement rationnelles. Par exemple, les deux racines de x 2 -2 = 0 sont des nombres irrationnels. Par conséquent, les racines des équations algébriques à coefficients entiers peuvent être soit rationnelles, soit irrationnelles, et elles ont donc le potentiel, au moins en surface, de représenter tous les nombres réels.
Mais avoir le potentiel ne signifie pas que c'est possible. Le premier à avoir répondu négativement à la question « Tous les nombres réels sont-ils des racines d'équations algébriques à coefficients entiers ? » et à avoir fourni une preuve est le mathématicien français Liouville. Il a non seulement prouvé que certains nombres réels ne sont pas des racines d'équations algébriques à coefficients entiers, mais il a également construit de tels nombres réels, fournissant ainsi la réponse négative la plus éloquente possible. Les racines non algébriques des équations algébriques que Liouville a initialement construites étaient exprimées sous forme de séries continues, et il a ensuite construit de telles racines en utilisant des nombres décimaux. Pour honorer la contribution de Liouville, les nombres qu'il a construits sont appelés les nombres de Liouville.
Nous savons maintenant que de nombreux nombres réels importants, tels que la base du logarithme naturel e et la constante mathématique π, ne sont pas des racines d'équations algébriques à coefficients entiers. Pour simplifier, les mathématiciens appellent les nombres qui peuvent être représentés par des racines d'équations algébriques à coefficients entiers des nombres algébriques, et les nombres qui ne peuvent pas être représentés par des racines d'équations algébriques à coefficients entiers sont appelés des nombres transcendants. Les nombres réels contiennent à la fois des nombres algébriques et des nombres transcendants. Les nombres e et π sont des exemples de nombres algébriques, tandis que e + π et e - π sont des exemples de nombres transcendants. La question peut être reformulée en utilisant cette nouvelle terminologie : tous les nombres réels sont-ils des nombres algébriques ? La réponse, comme mentionné ci-dessus, est négative.
Cependant, même si la réponse est révélée, prouver qu'un nombre particulier est transcendants n'est souvent pas une tâche facile. Par exemple, pour prouver que les deux constantes les plus importantes, e et π, sont transcendantes, les mathématiciens ont déployé beaucoup d'efforts. La transcendance de e a été prouvée par le mathématicien français Hermite en 1873. Quant à la détermination si π est transcendante, c'était encore plus difficile, et ce n'est qu'en 1882 que le mathématicien allemand Lindemann a prouvé que π est également transcendante. Quant à des combinaisons simples telles que e + π et e - π, leur transcendance reste un mystère à ce jour.
Nous pouvons ensuite poser une autre question : y a-t-il plus de nombres algébriques ou de nombres transcendants ? Compte tenu de la difficulté de construire et de prouver la transcendance des nombres transcendants, de nombreux lecteurs pourraient supposer qu'il n'y a que très peu de nombres transcendants. En réalité, c'est le contraire. En 1874, le mathématicien allemand Cantor a prouvé que les nombres transcendants sont bien plus nombreux que les nombres algébriques (ici, il s'agit de comparer le nombre d'éléments d'ensembles infinis). En fait, il a prouvé que presque tous les nombres réels sont transcendants - en d'autres termes, si nous choisissons au hasard un nombre parmi les nombres réels, il y a 0 % de chances qu'il soit un nombre algébrique !
L'existence des nombres transcendants n'a pas seulement une signification abstraite de classification, mais elle permet également de résoudre certains problèmes mathématiques concrets. Par exemple, il a été prouvé que la longueur des segments de ligne que l'on peut tracer avec une règle et un compas ne peut être que des nombres algébriques (si l'on prend une unité de longueur donnée). Par conséquent, le fait que π soit un nombre transcendante, qui semble avoir une signification uniquement abstraite, fournit une preuve directe de cela.L'un des « trois problèmes de géométrie avec règle et compas » qui ont tourmenté les mathématiciens pendant plus de 2 300 ans, à savoir la « quadrature du cercle », est impossible à résoudre.