Pour la plupart des gens, « le tout vaut plus que la somme des parties » est un fait évident et indiscutable. Le mathématicien grec Euclide l’a même inscrit comme un axiome dans son œuvre « Éléments ». Mais si on vous disait que le tout et ses parties peuvent être aussi nombreuses l’une que l’autre, seriez-vous surpris ?
Pour mieux expliquer ce problème, examinons d’abord ce que signifie dire que deux choses sont aussi nombreuses l’une que l’autre. Supposons que nous assistons à un spectacle où tous les sièges sont occupés et qu’il n’y a personne debout. Nous pouvons alors conclure qu’il y a autant de sièges que de personnes sans avoir besoin de compter. C’est parce qu’il est possible d’établir une correspondance biunivoque entre les sièges et les personnes. En termes abstraits : si deux ensembles peuvent être mis en correspondance biunivoque, alors le nombre d’éléments de ces ensembles est égal. De toute évidence, un ensemble fini ne peut pas être mis en correspondance biunivoque avec une partie de lui-même. Mais qu’en est-il des ensembles infinis ?
En 1638, le physicien italien Galilée a consigné dans son livre un fait surprenant : chaque nombre entier positif peut être mis en correspondance biunivoque avec son carré, donc le nombre de carrés est égal au nombre d’entiers positifs. Mais les carrés ne sont qu’une partie des entiers positifs, donc les entiers positifs peuvent être aussi nombreux que leurs parties. La découverte de Galilée n’a pas attiré l’attention à l’époque. Deux cents ans plus tard, un mathématicien tchèque nommé Bolzano a réitéré le même fait, de manière encore plus générale : un ensemble infini peut être mis en correspondance biunivoque avec son sous-ensemble propre. Mais là encore, cela n’a pas suscité beaucoup d’intérêt. Ce n’est qu’après 1872 que le mathématicien allemand Cantor a commencé à étudier en profondeur les ensembles infinis. Cantor était convaincu que la possibilité pour un ensemble d’être aussi grand que son sous-ensemble propre était une caractéristique essentielle des ensembles infinis. De plus, il a découvert que des choses encore plus surprenantes pouvaient se produire avec les ensembles infinis.