Tous les équations algébriques d’un seul indice ont-elles des formules de résolution ? Les équations telles que 2x -6=0, x 2 -3x +2=0, x 3 -5x -12=0… sont appelées des équations algébriques d’un seul indice. Selon le degré du terme le plus élevé, elles sont appelées respectivement équations algébriques du premier degré, du deuxième degré, du troisième degré, etc. Pour les équations algébriques du premier degré, la solution est extrêmement simple. En ce qui concerne les équations algébriques du deuxième degré, de nombreuses civilisations anciennes ont également obtenu des résultats corrects dans leur exploration. En fait, pour une équation algébrique générale du deuxième degré ax 2 +bx +c =0 (a ≠0), nous avons la formule de résolution : dans la formule, la solution de l’équation est exprimée par des opérations d’addition, de soustraction, de multiplication et de racine des coefficients de l’équation. Par conséquent, la solution donnée par cette formule est appelée la solution radicale de l’équation.
Les mathématiciens européens ont maîtrisé la méthode de résolution des équations du deuxième degré au XIIe siècle. Par la suite, ils ont commencé à explorer la résolution radicale des équations algébriques du troisième degré. Au fil des siècles, de nombreuses personnes ont échoué dans leurs efforts. En 1494, un mathématicien a même fait une prédiction pessimiste : résoudre une équation du troisième degré est aussi impossible que transformer un cercle en un carré. Cependant, vers 1500, le mathématicien italien Ferraro a obtenu un succès initial. Il a trouvé une formule de résolution pour les équations algébriques du troisième degré avec un terme manquant, telles que x(^3) +mx =n. Cependant, il n’a pas publié ses résultats et n’a transmis sa solution qu’à ses étudiants, Fior et d’autres, à la fin de sa vie. Peu après, un autre mathématicien italien, Tartaglia, a affirmé avoir trouvé une méthode de résolution des équations du troisième degré. En 1535, une compétition publique a eu lieu entre Fior et Tartaglia. Les deux parties se sont mises d’accord pour résoudre 30 problèmes d’équations du troisième degré chacune à Milan. Au début, Tartaglia ne maîtrisait que les équations algébriques du troisième degré sans terme du premier degré. Pour gagner la compétition, il a passé de nombreux jours à réfléchir et a finalement trouvé des solutions pour différents types d’équations algébriques du troisième degré à la veille de la compétition. Le résultat de la compétition a été une victoire éclatante pour Tartaglia.
Peu après la compétition, un autre mathématicien, Cardano, a entendu parler de l’événement. Par la suite, il a demandé à plusieurs reprises à Tartaglia la solution des équations du troisième degré, et finalement, après avoir prêté serment de ne jamais révéler le secret, Tartaglia a révélé sa solution à Cardano. Par la suite, Cardano, après des recherches approfondies, a finalement trouvé des solutions et des preuves pour tous les types d’équations du troisième degré. En 1545, Cardano a publié son ouvrage mathématique le plus important, le « Grand Art », rendant publiques ses découvertes, ainsi que l’une des découvertes importantes de son élève Ferrari : la solution générale des équations algébriques du quatrième degré. La trahison de Cardano a provoqué la colère de Tartaglia, et une querelle inévitable a éclaté. Le 10 août 1548, un débat public à Milan a mis cette querelle à son paroxysme. Dans cette compétition publique mais injuste avec Ferrari, Tartaglia a échoué.
Jusqu’à présent, la formule de résolution des équations du troisième degré est toujours appelée la formule de Cardano.
Cependant, les mathématiques ne s’arrêtent jamais. La résolution d’un problème signifie souvent la naissance d’un nouveau problème. Après le « Grand Art », les gens se sont immédiatement lancés dans la prochaine compétition, à savoir comment trouver la formule de résolution des équations du cinquième degré. Personne ne doute que, avec suffisamment de talent, les équations algébriques du cinquième degré devraient également être résolues. Mais un siècle est passé, puis un autre siècle, sans succès.
À la fin de 1823, une véritable percée s’est produite. À l’âge de 21 ans, le mathématicien norvégien Abel a prouvé qu’il n’existait pas de solution radicale pour les équations algébriques du cinquième degré. C’est précisément la raison pour laquelle les deux siècles précédents n’ont pas réussi à trouver cette « coupe sacrée ». AbelVous avez fait plusieurs copies de vos résultats de recherche. Pour économiser sur les frais d’impression, il a résumé l’essentiel de ses idées en seulement 6 pages. Les preuves trop simplifiées ont rendu son article difficile à comprendre, et il n’a donc pas laissé une impression durable sur la communauté mathématique. Abel, tourmenté par la pauvreté et la maladie toute sa vie, est mort le 6 avril 1829, à l’âge de moins de 27 ans.
Peu après sa mort, ses preuves ont commencé à être acceptées, mais de nouvelles difficultés restaient à résoudre. Quelles équations peuvent être résolues par des radicaux, et lesquelles ne le peuvent pas ? Existe-t-il une méthode appropriée pour le déterminer ? Abel n’a pas eu le temps de résoudre ce problème avant sa mort prématurée, le laissant à Galois, l’un des mathématiciens les plus légendaires et tragiques de toute l’histoire des mathématiques.
À l’âge de 17 ans, Galois avait déjà fait des progrès dans ce domaine et soumit plusieurs articles de recherche au cours des années suivantes. Cependant, ses articles furent soit retournés, soit perdus, soit incompris, et Galois, qui n’avait pas été reconnu par la communauté mathématique, devint de plus en plus frustré. Une série de malheurs personnels s’ensuivirent ensuite. Sous le poids de ces coups durs, sa passion se tourna vers la politique, ce qui lui valut deux emprisonnements. En 1832, il s’impliqua dans un duel inutile. La veille du duel, il travailla toute la nuit pour rédiger un bref résumé de ses résultats de recherche. Le 30 mai 1832, Galois fut mortellement blessé lors du duel et mourut le lendemain, à l’âge de 21 ans. Plus de 10 ans plus tard, ses articles furent réédités et sa génialité fut reconnue.
La beauté des idées de Galois réside dans le fait qu’il a non seulement prouvé que les équations algébriques univariées de degré supérieur à 5 ne peuvent pas être résolues par des radicaux, mais il a également expliqué pourquoi les équations algébriques univariées de degré général 2, 3 et 4 peuvent être résolues. Ses recherches ont également fourni un critère clair pour déterminer si une équation algébrique a une solution radicale, résolvant ainsi le problème vieux de 300 ans de la résolvabilité radicale des équations algébriques. La signification historique du travail de Galois réside dans le fait qu’en résolvant ce problème, il a introduit les idées de la théorie des groupes, ouvrant une nouvelle ère dans la recherche mathématique.