Les nombres premiers sont-ils finis ou infinis ? C'est une question très fondamentale. En fait, il existe une infinité de nombres premiers, mais ce n'est pas évident. La première preuve de l'infinité des nombres premiers figure dans le célèbre ouvrage d'Euclide, les « Éléments », dans la proposition 20 de la neuvième partie. Euclide utilise la méthode de la réfutation par le contraire. En supposant qu'il n'y a que k nombres premiers, de p1 à pk, on examine P = p1p2…pk + 1. Il est évident que pk est supérieur à pk, donc pk doit être un nombre composite. Supposons que pk est un facteur premier de pk, alors p doit être l'un des nombres premiers p1, p2,…, pk, et donc p doit diviser 1. C'est une contradiction. Cela prouve qu'il existe une infinité de nombres premiers.
Une autre preuve de l'infinité des nombres premiers a été donnée par Euler. De même, en utilisant la méthode de la réfutation par le contraire, on suppose qu'il n'y a que k nombres premiers, de p1 (= 2) à pk (un entier positif). On examine le produit, qui est évidemment un nombre entier fini. En utilisant la formule de sommation des suites géométriques et le théorème fondamental de l'arithmétique, on peut écrire tout entier supérieur à 1 comme le produit de certaines puissances de p1, p2,…, pk. En supprimant toutes les parenthèses de la première expression, on obtient . Mais Euler a déjà démontré que la somme des inverses des nombres entiers de droite tend vers l'infini, ce qui est une contradiction. Il a donc prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers.
Si les nombres premiers étaient seulement finis, de nombreux problèmes de la théorie des nombres ne seraient plus des problèmes (même la conjecture de Goldbach n'existerait plus). Mais alors, le charme et la valeur de recherche de la théorie des nombres seraient grandement réduits. Bien que la preuve d'Euler soit un peu plus complexe que celle d'Euclide, elle a inspiré le mathématicien allemand Riemann à étudier la distribution des nombres premiers en utilisant la fonction ζ.
Après avoir prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers, on peut se poser une question plus profonde : sur l'axe des nombres, combien de nombres premiers y a-t-il jusqu'à un grand nombre x ? À la fin du XVIIIe siècle, Gauss et Legendre ont conjecturé que le nombre de nombres premiers inférieurs à x est approximativement égal à x/lnx, et que cette approximation devient de plus en plus précise au fur et à mesure que x augmente. La conjecture de Gauss donne le rythme d'augmentation du nombre de nombres premiers inférieurs à x lorsque x augmente.
Pour prouver cette conjecture, Riemann a proposé et développé la théorie de la fonction ζ. Le travail de Riemann a été clairement inspiré par la preuve d'Euler de l'infinité des nombres premiers. Dans la direction indiquée par Riemann, plus de 100 ans après la conjecture de Gauss, en 1896, les mathématiciens français Hadamard et belge Poisson ont donné des preuves, et depuis lors, cette conjecture est appelée la théorie des nombres premiers.
En développant la théorie de la fonction ζ, Riemann a proposé la célèbre conjecture de Riemann, qui n'a pas encore été prouvée. La conjecture de Riemann est étroitement liée à la distribution des nombres premiers, et l'une de ses équivalences est que la théorie des nombres premiers a le meilleur terme d'erreur possible.