Prenez une feuille de papier A4 ordinaire. Combien de fois pensez-vous pouvoir la plier au maximum ? Il vous suffit de faire un simple essai pour vous rendre compte que votre estimation est probablement trop élevée. En réalité, vous ne pourrez la plier qu’un maximum de 7 fois. Pourquoi est-il si difficile de plier une feuille de papier après quelques fois seulement ? Regardons l’évolution de l’épaisseur du papier en fonction du nombre de pliages. Si l’épaisseur d’une feuille A4 est de 0,1 mm, après un pliage, elle devient de 0,2 mm, après deux pliages, elle devient de 0,4 mm… L’épaisseur du papier augmente proportionnellement au nombre de pliages. En même temps, la largeur du papier diminue proportionnellement. Le côté long d’un A4 est d’environ 300 mm. Après un premier pliage, il devient de 150 mm ; après un deuxième pliage, il devient de 75 mm… Ainsi, une feuille de 0,1 mm d’épaisseur et de 300 mm de long, après 7 pliages (si vous y parvenez !), vous donnera une pile de 12,8 mm d’épaisseur et de 2,34 mm de largeur. Après le 8e pliage, le papier aura une épaisseur de 25,6 mm et une largeur de 1,17 mm. L’épaisseur sera plus de 20 fois supérieure à la largeur. De toute évidence, personne ne peut réaliser une telle prouesse.
Si, au lieu de plier le papier de manière conventionnelle, on change constamment la direction du pliage, et si on choisit une feuille de papier plus grande ou plus longue, peut-on plier le papier un nombre de fois encore plus grand ? En d’autres termes, l’affirmation selon laquelle « aucune feuille de papier ne peut être pliée plus de 7 fois » est-elle correcte ? Une émission télévisée américaine intitulée « MythBusters » a mis cette affirmation à l’épreuve. Les expérimentateurs ont commencé avec une feuille de papier d’une épaisseur de 0,1 mm, suffisamment grande pour couvrir un terrain de football, et ont finalement réussi à plier le papier 11 fois à l’aide d’outils mécaniques.
En 2001, une lycéenne américaine a proposé une réponse plus complète à cette question. Elle a étudié à la fois les méthodes de pliage alternant les directions et les méthodes de pliage dans une seule direction. Elle a finalement conclu que, pour plier une feuille de papier un grand nombre de fois, il est préférable de choisir une feuille longue mais étroite. Elle a également déduit une formule reliant le nombre de pliages, la longueur minimale du papier et son épaisseur. En appliquant sa formule, elle a calculé qu’il fallait choisir un papier toilette approprié et une longueur minimale de 1,2 km pour réussir à plier une feuille de papier 12 fois.
En janvier 2002, accompagnée de ses parents, elle est entrée dans un grand centre commercial pour tenter sa chance. Elle a déroulé le long papier toilette, puis a commencé à plier. Après 7 heures, elle avait plié 11 fois et obtenu un panneau de 80 cm de long et de 40 cm de haut. En pliant une fois de plus, elle est finalement parvenue à plier la longue feuille de papier 12 fois.
En 2011, un professeur de mathématiques et 15 élèves ont établi un nouveau record en pliant 13 fois une feuille de papier toilette de plus de 3,2 km de long en 4 heures. Faut-il simplement une feuille de papier plus longue et plus de patience pour battre des records ? Un simple calcul montre qu’après 20 pliages, l’épaisseur d’une feuille de papier de 0,1 mm atteindra 10^5 mètres, et après 30 pliages, 10^7 kilomètres. Après 51 pliages, son épaisseur dépassera la distance entre la Terre et le Soleil ! Il est en effet difficile d’imaginer qu’une feuille de papier aussi mince puisse atteindre une épaisseur aussi impressionnante après seulement quelques dizaines de pliages. Dans l’exemple du pliage de papier, nous assistons à un phénomène contre-intuitif : le fait que le nombre de pliages double conduit, après un nombre limité d’étapes, à des chiffres gigantesques.