Dans les films, on voit souvent un type de jeu dans les casinos où l’on parie sur le fait que le nombre soit pair ou impair. Si l’on perd, on perd le montant misé, et si l’on gagne, on gagne un montant équivalent au montant misé. On dit qu’il existe une stratégie « sans perte garantie » pour ce type de jeu, appelée la méthode du « doublement des mises ».
La stratégie du doublement des mises consiste à miser un montant minimum de a yuans la première fois. Si l’on perd, on double la mise à 2a yuans la fois suivante. Si l’on perd encore, on double à nouveau la mise à 4a yuans. Ainsi, à chaque fois que l’on perd, on double la mise jusqu’à ce que l’on gagne. Ensuite, on recommence à miser le montant minimum. Supposons qu’avant de gagner, on a perdu n fois de suite. On a alors perdu un total de a + 2a + … + 2^(n-1)a = (2^n -1)a yuans, et la prochaine mise permettra de gagner 2^n yuans. Par conséquent, après un cycle, on gagne toujours a yuans ! Il semblerait donc que si l’on continue à jouer, on ne peut que gagner sans perdre, ce qui semble être une stratégie infaillible pour gagner.
Mais est-ce vraiment le cas ? En réalité, de nombreuses personnes qui ont appris cette méthode du « doublement des mises » sont allées tenter leur chance dans les casinos. Cependant, le résultat a généralement été une série de défaites jusqu’à épuisement du capital. En d’autres termes, cette stratégie infaillible ne fonctionne pas. Pourquoi ? Parce que même si le joueur gagne à chaque fois, il ne peut gagner que le montant minimum de a yuans, et même s’il gagne n fois de suite, il ne gagnera que na yuans. Les gains augmentent selon une suite géométrique, et la vitesse d’augmentation est assez lente. Cependant, si le joueur perd, le montant perdu augmente de façon exponentielle, et la vitesse d’augmentation est incroyablement rapide. Si le capital du joueur est limité, il risque de perdre tout son capital avant même d’avoir la chance de gagner. Par exemple, un joueur qui apporte 10 000 yuans comme capital et mise un minimum de 10 yuans à chaque fois peut perdre 10 230 yuans après 10 défaites consécutives. Ainsi, même s’il gagne un peu d’argent au début (ce qui n’arrivera pas souvent car les gains augmentent seulement de façon arithmétique), il finira par tout perdre.
Certains lecteurs pourraient penser que, même si une série de défaites consécutives est possible, la probabilité d’une telle série de 10 défaites consécutives est très faible. La probabilité d’une défaite est de 1/2, celle de deux défaites consécutives est de (1/2)2 = 0,25, et celle de 10 défaites consécutives n’est que de (1/2)10≈0,001. Ainsi, si le joueur ne mise que 10 fois, la probabilité de perdre les 10 fois est effectivement d’environ 0,001. Cependant, si le joueur croit que le « doublement des mises » est infaillible, il continuera à jouer, et la probabilité d’une série de 10 défaites consécutives sera bien plus élevée qu’on ne le pense. En calculant, on obtient qu’après environ 1500 mises consécutives, la probabilité d’une série de 10 défaites consécutives dépasse 1/2, ce qui signifie qu’il y a plus de 50 % de chances qu’il perde ses 10 000 yuans. De plus, plus le nombre de mises est élevé, plus la probabilité d’une série de 10 défaites consécutives est grande. Si le joueur mise 5 000 fois, la probabilité d’une série de 10 défaites consécutives dépassera les 90 %.
En général, tant que le joueur continue à jouer, la probabilité d’une série de 10, 15 ou 20 défaites consécutives augmente avec le nombre de mises. Par conséquent, quel que soit le capital du joueur, tant qu’il est limité, il finira par tout perdre.