Le mathématicien allemand Cantor, fondateur de la théorie des ensembles, a développé une théorie des ensembles infinis qui a suscité une controverse considérable à sa création et a même été ouvertement critiquée. Cependant, de nombreux mathématiciens ont soutenu cette théorie, dont le grand mathématicien du XXe siècle, Hilbert. On raconte qu'Hilbert, pour illustrer les propriétés de l'infini, a raconté l'histoire suivante lors d'une conférence.
Imaginons un hôtel avec un nombre fini de chambres, toutes occupées. Un nouveau client arrive et demande une chambre. Le propriétaire de l'hôtel dit : « Désolé, toutes les chambres sont occupées. » Ensuite, imaginons un hôtel avec un nombre infini de chambres, également toutes occupées. Un nouveau client arrive et demande une chambre. « Mais… eh bien, pas de problème ! » dit le propriétaire après réflexion. Ensuite, il déplace le client de la chambre n° 1 vers la chambre n° 2, celui de la chambre n° 2 vers la chambre n° 3, celui de la chambre n° 3 vers la chambre n° 4, et ainsi de suite, jusqu'à ce que le nouveau client puisse emménager dans la chambre n° 1 libérée.
Toujours dans cet hôtel, et toutes les chambres étant occupées, arrivent un nombre infini de nouveaux clients demandant une chambre. Fort de son expérience précédente, le propriétaire de l'hôtel répond avec empressement : « Très bien, messieurs, attendez un peu. » Ensuite, il déplace le client de la chambre n° 1 vers la chambre n° 2, celui de la chambre n° 2 vers la chambre n° 4, celui de la chambre n° 3 vers la chambre n° 6, et ainsi de suite. Ainsi, tous les clients précédents occupent les chambres numérotées paires, et les nouveaux clients peuvent directement emménager dans les chambres numérotées impaires libérées. Ainsi, tous les nouveaux clients sont satisfaitement logés.
C'est ici que nous terminons la narration de cette histoire. Par la suite, cet hôtel a été appelé l'Hôtel de Hilbert. Hilbert a raconté cette histoire pour aider les gens à mieux comprendre le concept d'« ensembles infinis ». Le fait que le propriétaire de l'hôtel ait toujours réussi à résoudre le problème de l'hébergement des nouveaux clients dans une situation de pleine occupation est dû au fait qu'il a établi à chaque fois une correspondance biunivoque entre un ensemble infini et un autre ensemble infini.