Au Moyen Âge européen, les Italiens considéraient le chiffre 6 comme appartenant à la déesse de l'amour Vénus, et le voyaient comme un symbole de mariage heureux. Le chiffre 6 était également appelé « chiffre parfait ». En effet, lors de son introduction en Chine, le chiffre parfait avait un autre nom, appelé « chiffre idéal ». En fait, si l'on additionne tous les facteurs d'un nombre naturel (à l'exception de lui-même) et que le résultat soit égal à ce nombre, alors ce nombre est appelé chiffre parfait. Il n'est pas difficile de voir que le chiffre 6 a trois facteurs : 1, 2 et 3, et 1 + 2 + 3 = 6, donc 6 est un chiffre parfait, et le plus petit membre de la famille des chiffres parfaits. Le chiffre 28 a cinq facteurs (1 , 2, 4, 7 et 14) en dehors de lui-même, et c'est le deuxième chiffre parfait : 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Tous les chiffres parfaits découverts jusqu'à présent sont des nombres pairs, et il n'y a pas un seul chiffre impair parfait. Malgré cela, on n'a pas encore prouvé l'inexistence des chiffres impairs parfaits, ce qui constitue un autre problème non résolu en théorie des nombres.
Dès plus de 500 ans avant J.-C., Pythagore avait déjà étudié les chiffres parfaits. Plus tard, Euclide, dans le neuvième livre des « Éléments », a déclaré que si 2^n - 1 était un nombre premier, alors 2^{n-1}(2^n - 1) serait un chiffre parfait. Au XVIIe siècle, le moine catholique français Mersenne a effectué de nombreux calculs sur 2^n - 1 et a fait certaines affirmations (dont certaines étaient erronées). Pour honorer ses travaux, les chiffres de la forme 2^n - 1 ont été appelés « chiffres de Mersenne » et notés Mn.
Il est facile de prouver que lorsque le chiffre de Mersenne 2^n - 1 est un nombre premier, n doit être un nombre premier ; inversement, lorsque n est un nombre premier, le chiffre de Mersenne semble également être un nombre premier, par exemple : M3 = 7, M5 = 31, M7 = 127. Cependant, contre toute attente, lorsque le prochain M11 = 2^11 - 1 = 2047 = 23×89 est apparu, cette règle n'existait plus ! En raison des nombreuses propriétés et anecdotes intéressantes des chiffres de Mersenne, ils ont attiré de nombreux mathématiciens depuis des siècles. Mais jusqu'au XVIIIe siècle, seuls huit chiffres de Mersenne avaient été découverts, à savoir M2, M3, M5, M7, M13, M17, M19 et M31. Parmi eux, le dernier M31, découvert par le mathématicien Euler en étant aveugle et en calculant mentalement, était le plus grand nombre premier connu à l'époque. Euler a également prouvé le théorème inverse du théorème d'Euclide sur les chiffres parfaits, à savoir que tout chiffre parfait impair a la forme 2^{n-1}(2^n - 1), où 2^n - 1 est un nombre premier. Cela a fait des chiffres parfaits impairs un « sous-produit » des chiffres de Mersenne. Au cours des 100 années suivantes, seuls quatre nouveaux chiffres de Mersenne ont été découverts : M61, M89, M107 et M127. En 1876, le mathématicien Lucas a proposé un théorème important pour déterminer si un Mp est un nombre premier, appelé le théorème de Lucas, qui a fourni un outil puissant pour la recherche des chiffres de Mersenne. À l'époque des « calculs manuels et des enregistrements sur papier », les gens ont eu beaucoup de difficultés à trouver seulement douze chiffres de Mersenne.
L'apparition des ordinateurs a grandement accéléré la recherche des chiffres de Mersenne. En 1952, les mathématiciens Robinson et al. ont compilé la méthode de Lucas améliorée par le mathématicien américain Lamm en 1903 en un programme informatique, et ont trouvé cinq nouveaux chiffres de Mersenne en utilisant un ordinateur SWAC : M521, M607, M1279, M2203 et M2281. En 1963, lorsque le 23e chiffre de Mersenne M11213 a été trouvé à l'aide d'un ordinateur géant, la chaîne de télévision américaine ABC a interrompu sa programmation normale pour diffuser cette importante nouvelle en première exclusivité. Tous les membres du département de mathématiques de l'Université de l'Illinois à Urbana-Champaign, où ce chiffre a été découvert, étaient extrêmement fiers, et pour que le monde entier puisse partager cette réussite, ils ont tous apposé un cachet « 2^11213 - 1 iLe timbre « prime » (2^11213 - 1 est un nombre premier). Il est particulièrement intéressant de noter que deux lycéens américains, Nor et Nickol, ont découvert le 25e nombre premier de Mersenne, M21701, après trois ans de travail pour développer un programme de calcul, exécuté pendant 350 heures sur l’ordinateur Cyber174 en octobre 1978. À l’époque, les principales agences de presse mondiales (y compris l’agence de presse chinoise Xinhua) et les revues scientifiques ont couvert cette nouvelle. Le New York Times l’a même annoncé en première page.
L’apparition de la nouvelle technologie de grille a considérablement facilité la recherche des nombres premiers de Mersenne. Au début de 1996, le mathématicien et informaticien américain Wolfram a développé un programme de calcul des nombres premiers de Mersenne et l’a mis à la disposition des mathématiciens et des amateurs de mathématiques gratuitement sur le Web. C’est ainsi que le projet mondialement connu « GIMPS » (Greatest Internet Mersenne Prime Search) a vu le jour. Ce projet utilise le calcul en grille pour exploiter le temps d’inactivité d’un grand nombre d’ordinateurs ordinaires et obtenir une puissance de calcul équivalente à celle d’un superordinateur. Aujourd’hui, près de 150 000 personnes de plus de 150 pays et régions participent à ce projet de coopération internationale. Grâce à GIMPS, 14 nouveaux nombres premiers de Mersenne ont été découverts. Le 23 août 2008, Smith, informaticien à l’Université de Californie à Los Angeles, a découvert le 45e nombre premier de Mersenne, M43112609. Le 6 septembre 2008, l’ingénieur électronicien Elviniac a découvert le 46e nombre premier de Mersenne, M37156667. Le 12 avril 2009, le Norvégien Strindmo a découvert le nombre premier de Mersenne entre ces deux nombres, M42643801. Le 25 janvier 2013, l’équipe de recherche dirigée par le professeur de mathématiques de l’Université centrale du Missouri, Curtis Cooper, a découvert le plus grand nombre premier de Mersenne connu à ce jour, M57885161, qui compte plus de 17 millions de chiffres, portant le nombre de nombres premiers de Mersenne découverts à 48. Sauf le premier, tous les nombres premiers de Mersenne se terminent par 1 ou 7. Intéressant à noter, la plupart des 48 nombres premiers de Mersenne se terminent par 1.
Pourquoi les gens sont-ils si passionnés par la recherche des nombres premiers de Mersenne ? De l’époque grecque antique au XVIIe siècle, la recherche des nombres premiers de Mersenne semblait avoir pour seul but de trouver des nombres parfaits. Mais depuis que Mersenne a formulé sa célèbre affirmation, et surtout depuis qu’Euler a démontré le théorème inverse du théorème d’Euclide sur les nombres parfaits impairs, les nombres parfaits ne sont plus qu’un « sous-produit » des nombres premiers de Mersenne. La recherche des nombres premiers de Mersenne est le moyen le plus efficace de découvrir le plus grand nombre premier connu. Depuis que Euler a démontré que M31 était le plus grand nombre premier connu à l’époque, les nombres premiers de Mersenne ont dominé la plupart des compétitions mondiales de découverte des plus grands nombres premiers. La recherche des nombres premiers de Mersenne est également un moyen puissant de tester la vitesse de calcul et d’autres fonctions des ordinateurs. Par exemple, le 34e nombre premier de Mersenne, M1257787, a été découvert en septembre 1996 lorsque Cray Research testait la vitesse de calcul de son dernier superordinateur. La découverte de nombres premiers de Mersenne nécessite non seulement des ordinateurs puissants, mais aussi des théories et des méthodes de détermination des nombres premiers et de calcul numérique, ainsi que des techniques de programmation sophistiquées. Elle a également stimulé la recherche en théorie des nombres, connue comme la « reine des mathématiques », et favorisé le développement des mathématiques appliquées et de la programmation informatique.
Les nombres premiers de Mersenne ont également des applications pratiques. Aujourd’hui, ils sont utilisés dans la conception de cryptographie moderne, selon le principe suivant : il est très difficile de décomposer un grand nombre en produit de nombres premiers, mais il est beaucoup plus facile de multiplier plusieurs nombres premiers. Dans ce type de cryptographie, il est nécessaire d’utiliser de grands nombres premiers, car plus le nombre premier est grand, moins il y a de chances que le cryptage soit décrypté.