Au XVIIe siècle, lors de l’étude de l’ouvrage « Arithmétique » de l’ancien Grec Diophante, le mathématicien français Fermat est tombé sur un problème concernant les nombres pythagoriciens : « Comment écrire un carré comme la somme de deux autres carrés ? » Il a alors noté en marge : « … En général, aucun entier de puissance supérieure à 2 ne peut être écrit comme la somme de deux entiers de même puissance. J’ai trouvé une preuve vraiment merveilleuse, mais l’espace est trop limité pour l’écrire ». En utilisant la notation mathématique moderne, Fermat disait : x^n + y^n = z^n (n > 2) (1) n’a pas de solution pour les entiers positifs. C’est le fameux « Grand théorème de Fermat », également appelé « Dernier théorème de Fermat ».
Aujourd’hui, on pense que Fermat n’a pas prouvé son « Grand théorème », car c’était vraiment trop difficile. Le mathématicien du XVIIIe siècle Euler n’a prouvé que le cas n = 3. Le mathématicien du XIXe siècle Gauss l’a également étudié, mais n’a pas obtenu de résultat. Et lorsque le grand mathématicien du XXe siècle Hilbert a été invité à résoudre le Grand théorème de Fermat, il a déclaré qu’il ne voulait pas « tuer la poule aux œufs d’or ». La « poule aux œufs d’or » dont parlait Hilbert désignait les concepts et théories mathématiques merveilleux développés pour prouver le Grand théorème de Fermat. Tout d’abord, le concept d’« entier » a été étendu. Les mathématiciens ont découvert que si les racines unitaires n-i (c’est-à-dire ω^n = 1) étaient considérées comme des « entiers », alors (1) pourrait être décomposé en z^n = x^n + y^n = (x + y)(x + yω)(x + yω^2)… (x + yω^(n-1)), ce qui permettrait une analyse approfondie. Nous savons que tous les entiers supérieurs à 1 peuvent être décomposés de manière unique en produits de nombres premiers, comme 6 = 2 × 3, 20 = 2^2 × 5, etc. Si les « entiers » étendus conservaient cette décomposition unique, le Grand théorème de Fermat aurait déjà été résolu. Malheureusement, ce n’était pas le cas. Par exemple, le nombre 6 dans les « entiers » étendus peut être décomposé de deux manières : 6 = 2 × 3 et 6. Ainsi, le mathématicien allemand Kummer a inventé un nouveau concept, les « nombres idéaux », et a prouvé le Grand théorème de Fermat pour n ≤ 100 (sauf dans quelques cas particuliers). Kummer a ainsi fondé une branche importante des mathématiques modernes : la théorie des nombres algébriques.
En 1994, après huit ans de travail en isolation, le mathématicien britannique Wiles a finalement prouvé complètement le Grand théorème de Fermat, résolvant ainsi un problème qui avait défié les mathématiciens pendant plus de 350 ans. La clé de la preuve de Wiles réside dans son utilisation réussie des « représentations de groupes de Galois » pour établir une correspondance entre les « courbes elliptiques » et les « formes modulaires », révélant ainsi les liens profonds entre différents domaines des mathématiques modernes. C’était le « dernier œuf d’or engendré par le Grand théorème de Fermat ».